Google
Câu hỏi: Cho hai đường thẳng $\left( d \right):\dfrac{x}{4}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-3}{1}$ và $\left( {{d}'} \right):\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$. Gọi $I\left( a; b; c \right)$ là tâm mặt cầu đi qua $A\left( 3; 2; 2 \right)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\left( d \right)$. Biết $I$ nằm trên $\left( {{d}'} \right)$ và $a<2$. Tính $T=a+b+c$
A. $8$.
B. $4$.
C. $0$.
D. $2$.
A. $8$.
B. $4$.
C. $0$.
D. $2$.
Ta có $M\left( 0;2;3 \right)\in d$, $I=\left( 1+t; t; 1+t \right)\in {d}'$ $\Rightarrow \overrightarrow{AI}=\left( t-2; t-2; t-1 \right)\Rightarrow AI=\sqrt{3{{t}^{2}}-10t+9}$.
$\overrightarrow{MI}=\left( t+1; t-2; t-2 \right)$ $\Rightarrow \left[ \overrightarrow{MI,} \overrightarrow{u} \right]=\left( 0; 3t-9; -3t+9 \right)$ $\Rightarrow $ $d\left( I, d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{MI}, \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}$ $=\left| t-3 \right|$.
Mặt khác mặt cầu đi qua $A\left( 3; 2; 2 \right)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\left( d \right)$ nên $AI=d\left( I,d \right)$
$\sqrt{3{{t}^{2}}-10t+9}=\left| t-3 \right|\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-4t=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0\Rightarrow a=1, b=0, c=1\Rightarrow T=2 \\
& t=2\left( L \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\overrightarrow{MI}=\left( t+1; t-2; t-2 \right)$ $\Rightarrow \left[ \overrightarrow{MI,} \overrightarrow{u} \right]=\left( 0; 3t-9; -3t+9 \right)$ $\Rightarrow $ $d\left( I, d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{MI}, \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}$ $=\left| t-3 \right|$.
Mặt khác mặt cầu đi qua $A\left( 3; 2; 2 \right)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\left( d \right)$ nên $AI=d\left( I,d \right)$
$\sqrt{3{{t}^{2}}-10t+9}=\left| t-3 \right|\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-4t=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0\Rightarrow a=1, b=0, c=1\Rightarrow T=2 \\
& t=2\left( L \right) \\
\end{aligned} \right.$
Đáp án D.