Cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x+5}{3}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+1}{-2},{{d}_{2}}:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+1}{1}$ và $A\left( 1; 0; 0...

* Gọi $M\equiv d\cap {{d}_{1}}$ và $N\equiv d\cap {{d}_{2}}.$ Khi đó: $M\left( -5+3{{t}_{1}};{{t}_{1}};-1-2{{t}_{1}} \right)$ và $N\left( {{t}_{2}};2{{t}_{2}};-1+{{t}_{2}} \right).$
$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( {{t}_{2}}-3{{t}_{1}}+5;2{{t}_{2}}-{{t}_{1}};{{t}_{2}}+2{{t}_{1}} \right).$
* $d\bot \left( Oxy \right)$ và $M,N\in d\Rightarrow \overrightarrow{MN}\bot \left( Oxy \right)\Rightarrow \overrightarrow{MN}$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( Oxy \right).$
Mặt khác mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ có một vectơ pháp tuyến: ${{\overrightarrow{n}}_{\left( Oxy \right)}}=\overrightarrow{k}=\left( 0;0;1 \right).$
Do đó: $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{k}$ là hai vectơ cùng phương $\Leftrightarrow \overrightarrow{MN}=h.\overrightarrow{k}$ hay tương đương với hệ:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{2}}-3{{t}_{1}}+5=0 \\
& 2{{t}_{2}}-{{t}_{1}}=0 \\
& {{t}_{2}}+2{{t}_{1}}=h \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{2}}=1 \\
& {{t}_{1}}=2 \\
& h=5 \\
\end{aligned} \right.. $ Do đó: $ M\left( 1;2;-5 \right),N\left( 1;2;0 \right).$
* Ta có: $\overrightarrow{AM}=\left( 0;2;-5 \right),AM=\left| \overrightarrow{AM} \right|=\sqrt{29},\overrightarrow{AN}=\left( 0;2;0 \right),AN=\left| \overrightarrow{AN} \right|=2$
Vậy: $S=A{{M}^{2}}+A{{N}^{2}}=29+4=33.$