Google
Câu hỏi: Cho hai đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ với đoạn vuông góc chung $AB$, $AB=a$ và góc giữa hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ bằng $\alpha $. Hai điểm $M,N$ di động trên ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ $\left( M\in {{d}_{1}},N\in {{d}_{2}} \right)$ sao cho $AM+BN=MN$. Gọi $H$ là hình chiếu của trung điểm $O$ của $AB$ lên $MN$. Đường tròn $\left( C \right)$ nằm trong mặt phẳng $\left( M,{{d}_{2}} \right)$, tiếp xúc với ${{d}_{2}}$ tại $B$ và tiếp xúc $MN$ tại $H$. Tiếp tuyến thứ hai kẻ từ $M$ với $\left( C \right)$ cắt ${{d}_{2}}$ tại điểm $P$. Thể tích khối tứ diện $AMNP$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6\sin \alpha }$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12\sin \alpha }$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}.\sin \alpha }{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}.\sin \alpha }{12}$.
Gọi $K$ là tiếp điểm của $MP$ và $\left( C \right)$, $d$ là đường thẳng qua $B$ và song song với ${{d}_{1}}$ ; ${{M}_{1}}$ là hình chiếu vuông góc của $M$ xuống đường thẳng $d$.
Ta có $AB\bot \left( d , {{d}_{2}} \right)$.
Trong $\left( d , {{d}_{1}} \right)$ có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot d \\
& MN\bot d \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow AB \text{//} MN$.
Do đó $MN\bot \left( d , {{d}_{2}} \right)$.
Lại có $MN=MA+NB$ mà $NH=NB$ $\Rightarrow MA=MH$.
Đặt $MA=MH=MK=x$, $NH=NB=y$, $PB=PK=z$.
Có $\widehat{{{M}_{1}}BN}=\alpha $ $\Rightarrow \widehat{{{M}_{1}}BP}=180{}^\circ -\alpha $.
Ta có ${{V}_{AMNP}}={{V}_{AMNB}}+{{V}_{AMBP}}$, trong đó ${{V}_{AMNB}}=\dfrac{1}{6}xya\sin \alpha $.
$M{{N}^{2}}=MM_{1}^{2}+{{M}_{1}}{{N}^{2}}={{a}^{2}}+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2xy\cos \alpha $.
Mặt khác $M{{N}^{2}}={{\left( x+y \right)}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy$.
Do đó $xy=\dfrac{{{a}^{2}}}{4{{\cos }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}}$.
Ta được ${{V}_{AMNB}}=\dfrac{1}{12}{{a}^{3}}\tan \dfrac{\alpha }{2}$.
Có ${{V}_{AMBP}}=\dfrac{1}{6}xza\sin \left( \pi -\alpha \right)=\dfrac{1}{6}xza\sin \alpha $.
Ta có $M{{P}^{2}}=MM_{1}^{2}+{{M}_{1}}{{P}^{2}}={{a}^{2}}+{{x}^{2}}+{{z}^{2}}-2xy\cos \left( \pi -\alpha \right)={{a}^{2}}+{{x}^{2}}+{{z}^{2}}+2xy\cos \alpha $.
Lại có $M{{P}^{2}}={{\left( x+z \right)}^{2}}={{x}^{2}}+{{z}^{2}}+2xz$.
Do đó $xz=\dfrac{{{a}^{2}}}{4{{\sin }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}}$. Từ đó suy ra ${{V}_{AMBP}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{12}\cot \dfrac{\alpha }{2}$.
Vậy ${{V}_{AMNP}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6\sin \alpha }$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6\sin \alpha }$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12\sin \alpha }$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}.\sin \alpha }{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}.\sin \alpha }{12}$.
Ta có $AB\bot \left( d , {{d}_{2}} \right)$.
Trong $\left( d , {{d}_{1}} \right)$ có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot d \\
& MN\bot d \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow AB \text{//} MN$.
Do đó $MN\bot \left( d , {{d}_{2}} \right)$.
Lại có $MN=MA+NB$ mà $NH=NB$ $\Rightarrow MA=MH$.
Đặt $MA=MH=MK=x$, $NH=NB=y$, $PB=PK=z$.
Có $\widehat{{{M}_{1}}BN}=\alpha $ $\Rightarrow \widehat{{{M}_{1}}BP}=180{}^\circ -\alpha $.
Ta có ${{V}_{AMNP}}={{V}_{AMNB}}+{{V}_{AMBP}}$, trong đó ${{V}_{AMNB}}=\dfrac{1}{6}xya\sin \alpha $.
$M{{N}^{2}}=MM_{1}^{2}+{{M}_{1}}{{N}^{2}}={{a}^{2}}+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2xy\cos \alpha $.
Mặt khác $M{{N}^{2}}={{\left( x+y \right)}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy$.
Do đó $xy=\dfrac{{{a}^{2}}}{4{{\cos }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}}$.
Ta được ${{V}_{AMNB}}=\dfrac{1}{12}{{a}^{3}}\tan \dfrac{\alpha }{2}$.
Có ${{V}_{AMBP}}=\dfrac{1}{6}xza\sin \left( \pi -\alpha \right)=\dfrac{1}{6}xza\sin \alpha $.
Ta có $M{{P}^{2}}=MM_{1}^{2}+{{M}_{1}}{{P}^{2}}={{a}^{2}}+{{x}^{2}}+{{z}^{2}}-2xy\cos \left( \pi -\alpha \right)={{a}^{2}}+{{x}^{2}}+{{z}^{2}}+2xy\cos \alpha $.
Lại có $M{{P}^{2}}={{\left( x+z \right)}^{2}}={{x}^{2}}+{{z}^{2}}+2xz$.
Do đó $xz=\dfrac{{{a}^{2}}}{4{{\sin }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}}$. Từ đó suy ra ${{V}_{AMBP}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{12}\cot \dfrac{\alpha }{2}$.
Vậy ${{V}_{AMNP}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6\sin \alpha }$.
Đáp án A.