Google
Câu hỏi: Cho hai đồ thị $\left( {{C}_{1}} \right):y={{\log }_{2}}x$ và $\left( {{C}_{2}} \right):y={{2}^{x}}$. $M,N$ lần lượt là hai điểm thay đổi trên $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$. Giá trị nhỏ nhất của $MN$ thuộc
A. $\left( 0;\dfrac{1}{2} \right)$.
B. $\left( \dfrac{1}{2};1 \right)$.
C. $\left( 1;\dfrac{3}{2} \right)$.
D. $\left( \dfrac{3}{2};+\infty \right)$.
A. $\left( 0;\dfrac{1}{2} \right)$.
B. $\left( \dfrac{1}{2};1 \right)$.
C. $\left( 1;\dfrac{3}{2} \right)$.
D. $\left( \dfrac{3}{2};+\infty \right)$.
Ta có: $\left( {{C}_{1}} \right)$, $\left( {{C}_{2}} \right)$ đối xứng qua đường thẳng $\left( d \right):y=x$.
Gọi ${M}'$ là điểm đối xứng của $M$ qua $d$, ${N}'$ là điểm đối xứng của $N$ qua $d$.
Nếu $M\ne {N}'$ thì $M{M}'N{N}'$ là hình thang cân suy ra $MN\ge \min \left\{ M{M}',N{N}' \right\}$,
do đó $MN$ nhỏ nhất khi $M,N$ đối xứng qua $d$.
Gọi $\Delta $ là tiếp tuyến của $\left( {{C}_{2}} \right)$ song song với $d$ tại điểm $I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$.
Khi $M,N$ đối xứng nhau qua $d$ thì $MN=2d\left[ N,d \right]\ge 2d\left[ \Delta ,d \right]$.
Hệ số góc đường thẳng $\Delta $ là ${{k}_{\Delta }}=1$.
Ta có: $y={{2}^{x}}\Rightarrow {y}'={{2}^{x}}\ln 2$.
${{k}_{\Delta }}=1\Leftrightarrow {{2}^{{{x}_{0}}}}\ln 2=1\Leftrightarrow {{x}_{0}}=-{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right)$ $\Rightarrow {{y}_{0}}=\dfrac{1}{\ln 2}$.
$\Rightarrow \left( \Delta \right):y=x+{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right)+\dfrac{1}{\ln 2}$.
$\Rightarrow d\left[ d,\Delta \right]=\dfrac{\left| {{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right)+\dfrac{1}{\ln 2} \right|}{\sqrt{2}}\approx 0.65$
Ta có: $M{{N}_{\min }}=\sqrt{2}\left| \log \left( \ln 2 \right)+\dfrac{1}{\ln 2} \right|\approx 1.29$
Gọi ${M}'$ là điểm đối xứng của $M$ qua $d$, ${N}'$ là điểm đối xứng của $N$ qua $d$.
do đó $MN$ nhỏ nhất khi $M,N$ đối xứng qua $d$.
Gọi $\Delta $ là tiếp tuyến của $\left( {{C}_{2}} \right)$ song song với $d$ tại điểm $I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$.
Khi $M,N$ đối xứng nhau qua $d$ thì $MN=2d\left[ N,d \right]\ge 2d\left[ \Delta ,d \right]$.
Hệ số góc đường thẳng $\Delta $ là ${{k}_{\Delta }}=1$.
Ta có: $y={{2}^{x}}\Rightarrow {y}'={{2}^{x}}\ln 2$.
${{k}_{\Delta }}=1\Leftrightarrow {{2}^{{{x}_{0}}}}\ln 2=1\Leftrightarrow {{x}_{0}}=-{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right)$ $\Rightarrow {{y}_{0}}=\dfrac{1}{\ln 2}$.
$\Rightarrow \left( \Delta \right):y=x+{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right)+\dfrac{1}{\ln 2}$.
$\Rightarrow d\left[ d,\Delta \right]=\dfrac{\left| {{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right)+\dfrac{1}{\ln 2} \right|}{\sqrt{2}}\approx 0.65$
Ta có: $M{{N}_{\min }}=\sqrt{2}\left| \log \left( \ln 2 \right)+\dfrac{1}{\ln 2} \right|\approx 1.29$
Đáp án C.