Cho hai điểm thay đổi $A,B$ lần lượt thuộc đồ thị $y={{e}^{x+1}}$...

Ta nhận thấy đồ thị hai hàm số $y={{e}^{x+1}}$ và $y=\ln \left( x+1 \right)$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x+1$ nên ta tịnh tiến ba đồ thị $1$ đơn vị theo về bên phải theo phương song song với trục $Ox$ thì khi đó $A$ di chuyển trên đồ thị $y={{e}^{x}}$ và $B$ di chuyển trên đồ thị $y=\ln x$.
Đồ thị hai hàm số $y={{e}^{x}}$ và $y=\ln x$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$ nên $AB$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $A,B$ đối xứng nhau qua đường thẳng $\left( d \right):y=x$.
Giả sử $A\left( a,{{e}^{a}} \right)$ thì: $AB=2d\left( A,d \right)=\sqrt{2}\left| a-{{e}^{a}} \right|=\sqrt{2}\left| f\left( a \right) \right|\ge \sqrt{2}\underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|\ge \sqrt{2}.\left| f\left( 0 \right) \right|=\sqrt{2}.$
Vậy $a=b=0,c=1\Rightarrow a+b+c=1.$