Cho hai điểm M( 3;1;1 ) ; N( 4;3;4 ) và đường thẳng...

Phương pháp:
- Tham số hóa tọa độ điểm $I\in d$ theo tham số t.
- Tính độ dài các đoạn thẳng IM, IN, sử dụng công thức $DM=\sqrt{{{\left( {{x}_{I}}-{{x}_{M}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{I}}-{{y}_{M}} \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{1}}-{{z}_{M}} \right)}^{2}}}$
- Đưa các biểu thức dưới dấu căn về dạng A2+ mvà đánh giá, từ đó tìm tđể IM+ INđạt giá trị nhỏ nhất.
- Tìm điểm Itương ứng với giá trị ttìm được, xác định a, b, cvà tính S.
Cách giải:
Gọi $I\left( t+7;3-2t;9+t \right)\in d$. Khi đó ta có:
$M+IN=\sqrt{{{(t+4)}^{2}}+{{(2-2t)}^{2}}+{{(8+t)}^{2}}}+\sqrt{{{(t+3)}^{2}}+{{(2t)}^{2}}+{{(5+t)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow MA+IN=\sqrt{6{{t}^{2}}+16t+84}+\sqrt{6{{t}^{2}}+16t+34}$
$\Leftrightarrow IM+IN=\sqrt{6}{{\left( t+\dfrac{4}{3} \right)}^{2}}+\dfrac{220}{3}+\sqrt{6}{{\left( t+\dfrac{4}{3} \right)}^{2}}+\dfrac{70}{3}$
Khi đó ${{\left( IM+IN \right)}_{min}}\Leftrightarrow t=-\dfrac{4}{3}.$ Lúc này $I\left( \dfrac{17}{3};\dfrac{17}{3};\dfrac{23}{3} \right)$
Suy ra $a=\dfrac{17}{3},b=\dfrac{17}{3},c=\dfrac{23}{3}$
Vậy $\text{S=2a+b+3c=40}$.