Google
Câu hỏi: Cho hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự ${{z}_{1}},{{\text{z}}_{2}}$ khác 0 và thỏa mãn đẳng thức $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}={{z}_{1}}{{z}_{2}}$. Hỏi ba điểm O, A, B tạo thành tam giác gì? (O là gốc tọa độ). Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất.
A. Vuông cân tại O.
B. Cân tại O.
C. Đều.
D. Vuông tại O.
A. Vuông cân tại O.
B. Cân tại O.
C. Đều.
D. Vuông tại O.
Ta có: $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}={{z}_{1}}{{z}_{2}}\Leftrightarrow \dfrac{z_{1}^{2}}{z_{2}^{2}}-\dfrac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}+1=0\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right)}^{2}}-\dfrac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}+1=0\Leftrightarrow \dfrac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=\dfrac{1}{2}\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$
$\Rightarrow \left| \dfrac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=1\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|\Rightarrow OA=OB$.
Lại có $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}={{z}_{1}}{{z}_{2}}\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)}^{2}}=-{{z}_{1}}{{z}_{2}}$
Lấy mođun hai vế ta được ${{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\left| -{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|\to {{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{2}} \right|={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}$
Hay $A{{B}^{2}}=O{{A}^{2}}\Rightarrow AB=OA=OB$.
Vậy tam giác OAB đều.
$\Rightarrow \left| \dfrac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=1\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|\Rightarrow OA=OB$.
Lại có $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}={{z}_{1}}{{z}_{2}}\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)}^{2}}=-{{z}_{1}}{{z}_{2}}$
Lấy mođun hai vế ta được ${{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\left| -{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|\to {{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{2}} \right|={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}$
Hay $A{{B}^{2}}=O{{A}^{2}}\Rightarrow AB=OA=OB$.
Vậy tam giác OAB đều.
Đáp án C.