Google
Câu hỏi: Cho hai con lắc lò xo nằm ngang $\left( {{k}_{1}},{{m}_{1}} \right)$ và $\left( {{k}_{2}},{{m}_{2}} \right)$ như hình vẽ. Trục dao động M và N cách nhau 9cm . Lò xo k1 có độ cứng 100 N/m, chiều dài tự nhiên l1= 35 cm . Lò xo k2 có độ cứng 25 N/m, chiều dài tự nhiên l2= 26 cm. Hai vật có cùng khối lượng m. Thời điểm ban đầu (t = 0) , giữ lò xo k1 dãn một đoạn 3cm, lò xo k2 nén một đoạn 6cm rồi đồng thời thả nhẹ để hai vật dao động điều hòa. Bỏ qua ma sát. Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật trong quá trình dao động xấp xỉ bằng?
A. 13 cm
B. 9 cm
C. 10 cm
D. 11 cm
A. 13 cm
B. 9 cm
C. 10 cm
D. 11 cm
Phương pháp:
+ Viết phương trình dao động của hai vật : x1 ; x2
+ Khoảng cách giữa hai vật theo phương ngang : ∆ x = x1 - x2
+ Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật trong quá trình dao động là : d min = $\sqrt{M{{N}^{2}}~+\Delta {{x}_{mi{{n}^{2}}}}}$
Cách giải:
- Tần số góc của vật 1 và vật 2 là : $\left\{ \begin{aligned}
& {{\omega }_{1}}=\sqrt{\dfrac{{{k}_{1}}}{m}}=\sqrt{\dfrac{100}{m}}=\dfrac{10}{\sqrt{m}} \\
& {{\omega }_{2}}=\sqrt{\dfrac{{{k}_{2}}}{m}}=\sqrt{\dfrac{25}{m}}=\dfrac{5}{\sqrt{m}} \\
\end{aligned} \right.$
- Lò xo k1 có chiều dài tự nhiên l1 = 35 cm
Lò xo k2 có chiều dài tự nhiên l2 = 26 cm
⇒ Vị trí cân bằng của hai lò xo cách nhau theo phương ngang 1 đoạn : 35 – 26 = 9cm
- Thời điểm ban đầu (t = 0), giữ lò xo k1 dãn một đoạn 3cm, lò xo k2 nén một đoạn 6cm rồi đồng thời thả nhẹ để hai vật dao động điều hoà.
Chọn gốc toạ độ trùng với VTCB của lò xo k1.
⇒ Phương trình dao động điều hoà của hai vật:$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=3\cos \left( {{\omega }_{1}}t \right)=3\cos \left( 2.{{\omega }_{2}}t \right) \\
& {{x}_{2}}=-9+6\cos \left( {{\omega }_{2}}t+\pi \right)=-9-6\cos \left( {{\omega }_{2}}t \right) \\
\end{aligned} \right.$
⇒ Khoảng cách giữa hai vật theo phương ngang trong quá trình dao động là :
$\Delta x=|{{x}_{1}}-{{x}_{2}}|=|3\cos \left( 2.{{\omega }_{2}}t \right)+9+6\cos \left( {{\omega }_{2}}t \right)|$
Vì :
$\begin{array}{*{35}{l}}
\cos \text{ (}2.{{\omega }_{2}}t)=2co{{s}^{2}}({{\omega }_{2}}t)-1\Rightarrow \Delta x=|3(2co{{s}^{2}}~({{\omega }_{2}}t)-1)+9+~6\cos ~({{\omega }_{~2}}~t)|~ \\
\Rightarrow \Delta x=|6.co{{s}^{2}}~({{\omega }_{2}}t)+6\cos \text{ (}\omega {{~}_{2~}}t)~+~6|~ \\
\end{array}$
Đặt : $a=\cos \left( {{\omega }_{2}}t \right)\Rightarrow \Delta x=|6.{{a}^{2}}~+6a+~6~|$
Ta có :
$6.{{a}^{2}}+6a+6=6\left( {{a}^{2}}~+a+1 \right)=6\left[ {{\left( a+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{4} \right]=6.{{\left( a+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+4,5$
$6.{{\left( a+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+4,5\le 4,5\Rightarrow {{(6.{{a}^{2}}~+6a+6)}_{min}}~=4,5\Rightarrow \Delta {{x}_{min}}=4,5cm~$
⇒ Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật trong quá trình dao động là :
${{d}_{min}}=\sqrt{M{{N}^{2}}+\Delta {{x}_{mi{{n}^{2}}}}}=\sqrt{{{9}^{2}}+{{4,5}^{2}}}~=10,06cm$
+ Viết phương trình dao động của hai vật : x1 ; x2
+ Khoảng cách giữa hai vật theo phương ngang : ∆ x = x1 - x2
+ Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật trong quá trình dao động là : d min = $\sqrt{M{{N}^{2}}~+\Delta {{x}_{mi{{n}^{2}}}}}$
Cách giải:
- Tần số góc của vật 1 và vật 2 là : $\left\{ \begin{aligned}
& {{\omega }_{1}}=\sqrt{\dfrac{{{k}_{1}}}{m}}=\sqrt{\dfrac{100}{m}}=\dfrac{10}{\sqrt{m}} \\
& {{\omega }_{2}}=\sqrt{\dfrac{{{k}_{2}}}{m}}=\sqrt{\dfrac{25}{m}}=\dfrac{5}{\sqrt{m}} \\
\end{aligned} \right.$
- Lò xo k1 có chiều dài tự nhiên l1 = 35 cm
Lò xo k2 có chiều dài tự nhiên l2 = 26 cm
⇒ Vị trí cân bằng của hai lò xo cách nhau theo phương ngang 1 đoạn : 35 – 26 = 9cm
- Thời điểm ban đầu (t = 0), giữ lò xo k1 dãn một đoạn 3cm, lò xo k2 nén một đoạn 6cm rồi đồng thời thả nhẹ để hai vật dao động điều hoà.
Chọn gốc toạ độ trùng với VTCB của lò xo k1.
⇒ Phương trình dao động điều hoà của hai vật:$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=3\cos \left( {{\omega }_{1}}t \right)=3\cos \left( 2.{{\omega }_{2}}t \right) \\
& {{x}_{2}}=-9+6\cos \left( {{\omega }_{2}}t+\pi \right)=-9-6\cos \left( {{\omega }_{2}}t \right) \\
\end{aligned} \right.$
⇒ Khoảng cách giữa hai vật theo phương ngang trong quá trình dao động là :
$\Delta x=|{{x}_{1}}-{{x}_{2}}|=|3\cos \left( 2.{{\omega }_{2}}t \right)+9+6\cos \left( {{\omega }_{2}}t \right)|$
Vì :
$\begin{array}{*{35}{l}}
\cos \text{ (}2.{{\omega }_{2}}t)=2co{{s}^{2}}({{\omega }_{2}}t)-1\Rightarrow \Delta x=|3(2co{{s}^{2}}~({{\omega }_{2}}t)-1)+9+~6\cos ~({{\omega }_{~2}}~t)|~ \\
\Rightarrow \Delta x=|6.co{{s}^{2}}~({{\omega }_{2}}t)+6\cos \text{ (}\omega {{~}_{2~}}t)~+~6|~ \\
\end{array}$
Đặt : $a=\cos \left( {{\omega }_{2}}t \right)\Rightarrow \Delta x=|6.{{a}^{2}}~+6a+~6~|$
Ta có :
$6.{{a}^{2}}+6a+6=6\left( {{a}^{2}}~+a+1 \right)=6\left[ {{\left( a+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{4} \right]=6.{{\left( a+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+4,5$
$6.{{\left( a+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+4,5\le 4,5\Rightarrow {{(6.{{a}^{2}}~+6a+6)}_{min}}~=4,5\Rightarrow \Delta {{x}_{min}}=4,5cm~$
⇒ Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật trong quá trình dao động là :
${{d}_{min}}=\sqrt{M{{N}^{2}}+\Delta {{x}_{mi{{n}^{2}}}}}=\sqrt{{{9}^{2}}+{{4,5}^{2}}}~=10,06cm$
Đáp án C.