Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = \sqrt{3} x^{2}$ ...

The Professor · 17/12/21

Câu hỏi: Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol

y = \sqrt{3} x^{2}

và nửa đường tròn có phương trình

y = \sqrt{4 - x^{2}}

với

- 2 \leq x \leq 2

(phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng

A.

\frac{2 π + 5 \sqrt{3}}{3}

.
B.

\frac{4 π + 5 \sqrt{3}}{3}

.
C.

\frac{4 π + \sqrt{3}}{3}

.
D.

\frac{2 π + \sqrt{3}}{3}

.

Phương trình hoành độ giao điểm:

\sqrt{3} x^{2} = \sqrt{4 - x^{2}}

, Đk:

- 2 \leq x \leq 2

\Leftrightarrow 3 x^{4} + x^{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1

.
Hình (H) giới hạn bởi:

{\begin{aligned} (P) : y = \sqrt{3} x^{2} \\ (C) : y = \sqrt{4 - x^{2}} \\ x = - 1; x = 1 \end{aligned}

có diện tích là:

S = \int_{- 1}^{1} (\sqrt{4 - x^{2}} - \sqrt{3} x^{2}) d x = \underset{I_{1}}{\underset{⏟}{\int_{- 1}^{1} \sqrt{4 - x^{2}} d x}} - \underset{I_{2}}{\underset{⏟}{\int_{- 1}^{1} \sqrt{3} x^{2} d x}}

.
* Ta có:

I_{2} = {\frac{\sqrt{3}}{3} x^{3} |}_{- 1}^{1} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

* Xét

I_{1} = \int_{- 1}^{1} \sqrt{4 - x^{2}} d x

:Đặt

x=2 \sin t, t \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]; d x = 2 \cos t d t

.
Khi

x = - 1 \Rightarrow t = - \frac{π}{6}

và

x = 1 \Rightarrow t = \frac{π}{6}

.
Ta có:

I_{1} = \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} \sqrt{4 (1 - \sin^{2} x)} \cos t d t = 4 \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} \cos^{2} t d t

(Do

\cos t \geq 0

khi

t \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

)

2 \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} (1 + \cos 2 t) d t = {2 (t + \frac{1}{2} \sin 2 t) |}_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} = 2 (\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2})

.
Vậy

S = 2 (\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 π + \sqrt{3}}{3}

.

Đáp án D.

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y=3x2...