Google
Câu hỏi: Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi $\dfrac{1}{4}$ cung tròn có bán kính R = 2, đường cong $y=\sqrt{4-x}$ và trục hoành (miền tô đậm như hình vẽ). Tính thể tích V của khối tạo thành khi cho hình (H) quay quanh trục Ox.
A. $V=\dfrac{77\pi }{6}$
B. $V=\dfrac{8\pi }{3}$
C. $V=\dfrac{40\pi }{3}$
D. $V=\dfrac{66\pi }{7}$
Phương trình $\dfrac{1}{4}$ cung tròn có bán kính R = 2 (như hình vẽ) là $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \\
& y\ge 0;\text{ x}\in \left[ -2;0 \right] \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow y=\sqrt{4-{{x}^{2}}}$.
Khi đó hình phẳng (H) được tách thành 2 hình phẳng.
$({{H}_{1}}):\left\{ \begin{aligned}
& y=\sqrt{4-{{x}^{2}}} \\
& y=0 \\
& x=-2 \\
& x=0 \\
\end{aligned} \right. $ và $ ({{H}_{2}}):\left\{ \begin{aligned}
& y=\sqrt{4-x} \\
& y=0 \\
& x=0 \\
& x=4 \\
\end{aligned} \right.$.
Nên ta có: $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\pi \int\limits_{-2}^{0}{(4-{{x}^{2}})d\text{x}}+\pi \int\limits_{0}^{4}{(4-x)d\text{x}}\xrightarrow{Casio}\dfrac{40\pi }{3}$.
Chú ý: Ở bài toán này ${{V}_{1}}$ là phần thể tích của $\dfrac{1}{2}$ khối cầu (sau khi quay $\dfrac{1}{4}$ đường tròn bán kính R = 2 quanh trục Ox) nên ta có thể tính ${{V}_{1}}$ bằng công thức thể tích khối cầu như sau: ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{4}{3}\pi {{.2}^{3}}=\dfrac{16\pi }{3}$.
A. $V=\dfrac{77\pi }{6}$
B. $V=\dfrac{8\pi }{3}$
C. $V=\dfrac{40\pi }{3}$
D. $V=\dfrac{66\pi }{7}$
Phương trình $\dfrac{1}{4}$ cung tròn có bán kính R = 2 (như hình vẽ) là $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \\
& y\ge 0;\text{ x}\in \left[ -2;0 \right] \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow y=\sqrt{4-{{x}^{2}}}$.
Khi đó hình phẳng (H) được tách thành 2 hình phẳng.
$({{H}_{1}}):\left\{ \begin{aligned}
& y=\sqrt{4-{{x}^{2}}} \\
& y=0 \\
& x=-2 \\
& x=0 \\
\end{aligned} \right. $ và $ ({{H}_{2}}):\left\{ \begin{aligned}
& y=\sqrt{4-x} \\
& y=0 \\
& x=0 \\
& x=4 \\
\end{aligned} \right.$.
Nên ta có: $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\pi \int\limits_{-2}^{0}{(4-{{x}^{2}})d\text{x}}+\pi \int\limits_{0}^{4}{(4-x)d\text{x}}\xrightarrow{Casio}\dfrac{40\pi }{3}$.
Chú ý: Ở bài toán này ${{V}_{1}}$ là phần thể tích của $\dfrac{1}{2}$ khối cầu (sau khi quay $\dfrac{1}{4}$ đường tròn bán kính R = 2 quanh trục Ox) nên ta có thể tính ${{V}_{1}}$ bằng công thức thể tích khối cầu như sau: ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{4}{3}\pi {{.2}^{3}}=\dfrac{16\pi }{3}$.
Đáp án C.