Cho $f(x)$ mà đồ thị hàm số $y=f'(x)$ như hình vẽ bên Bất phương...

$\bullet $ Xét bất phương trình $f(x)>\sin \dfrac{\pi x}{2}+m$ (1) với $x\in \left[ -1;3 \right]$, ta có:
$f(x)>\sin \dfrac{\pi x}{2}+m\Leftrightarrow f(x)-\sin \dfrac{\pi x}{2}>m$ (2)
$\bullet $ Đánh giá $f(x)-\sin \dfrac{\pi x}{2}$ với $x\in \left[ -1;3 \right]$
+ Từ đồ thị của hàm số $y=f'(x)$ đã cho ta suy ra BBT của $f(x)$ như sau:
Từ BBT ta suy ra: $f(x)\ge f(1),\forall x\in \left[ -1;3 \right]$ (*)
+ Do $x\in \left[ -1;3 \right]$ nên: $-1\le x\le 3\Leftrightarrow -\dfrac{\pi }{2}\le \dfrac{\pi x}{2}\le \dfrac{3\pi }{2}$
Suy ra: $-1\le \sin \dfrac{\pi x}{2}\le 1\Leftrightarrow $ $-1\le -\sin \dfrac{\pi x}{2}\le 1$ (**)
+ Từ (*) và (**) cho ta: $f(x)-\sin \dfrac{\pi x}{2}\ge f(1)-1,\forall x\in \left[ -1;3 \right]$. Dấu $''=''$ xảy ra khi $x=1$
$\bullet $ Do đó: Bất phương trình $f(x)>\sin \dfrac{\pi x}{2}+m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left[ -1;3 \right]$
$\Leftrightarrow m<f(1)-1$.