Google
Câu hỏi: . Cho f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$ và $\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)dx}=4$. Kết quả $I=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}dx}$ bằng
A. $I=8$
B. $I=4$
C. $I=2$
D. $I=\dfrac{1}{4}$
A. $I=8$
B. $I=4$
C. $I=2$
D. $I=\dfrac{1}{4}$
Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt $t=-x$.
Đặt $t=-x\Rightarrow dt=-d\text{x}$.
Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=1\Rightarrow t=-1 \\
& x=-1\Rightarrow t=1 \\
\end{aligned} \right. $, khi đó: $ I=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}=-\int\limits_{1}^{-1}{\dfrac{f\left( -t \right)dt}{1+{{e}^{-t}}}}=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{f\left( -x \right)d\text{x}}{1+\dfrac{1}{{{e}^{x}}}}}=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{{{e}^{x}}f\left( -x \right)d\text{x}}{1+{{e}^{x}}}}$
Do $f\left( x \right)$ là hàm số chẵn nên $f\left( x \right)=f\left( -x \right)\forall \text{x}\in \left[ -1;1 \right]\Rightarrow I=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{{{e}^{x}}f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}$
$\Rightarrow I+I=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}+\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{{{e}^{x}}f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{\left( {{e}^{x}}+1 \right)f\left( x \right)d\text{x}}{1+{{e}^{x}}}}=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)d\text{x}}=4\Rightarrow I=2$.
Đặt $t=-x\Rightarrow dt=-d\text{x}$.
Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=1\Rightarrow t=-1 \\
& x=-1\Rightarrow t=1 \\
\end{aligned} \right. $, khi đó: $ I=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}=-\int\limits_{1}^{-1}{\dfrac{f\left( -t \right)dt}{1+{{e}^{-t}}}}=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{f\left( -x \right)d\text{x}}{1+\dfrac{1}{{{e}^{x}}}}}=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{{{e}^{x}}f\left( -x \right)d\text{x}}{1+{{e}^{x}}}}$
Do $f\left( x \right)$ là hàm số chẵn nên $f\left( x \right)=f\left( -x \right)\forall \text{x}\in \left[ -1;1 \right]\Rightarrow I=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{{{e}^{x}}f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}$
$\Rightarrow I+I=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}+\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{{{e}^{x}}f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{\left( {{e}^{x}}+1 \right)f\left( x \right)d\text{x}}{1+{{e}^{x}}}}=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)d\text{x}}=4\Rightarrow I=2$.
Đáp án C.