. Cho f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn $\left[ -1;1...

The Knowledge · 19/12/21

Câu hỏi: . Cho f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn

[- 1; 1]

và

\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 4

. Kết quả

I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x

bằng
A.

I = 8

B.

I = 4

C.

I = 2

D.

I = \frac{1}{4}

Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt

t = - x

.
Đặt

t = - x \Rightarrow d t = - d x

.
Đổi cận

{\begin{aligned} x = 1 \Rightarrow t = - 1 \\ x = - 1 \Rightarrow t = 1 \end{aligned}

, khi đó:

I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x = - \int_{1}^{- 1} \frac{f (- t) d t}{1 + e^{- t}} = \int_{- 1}^{1} \frac{f (- x) d x}{1 + \frac{1}{e^{x}}} = \int_{- 1}^{1} \frac{e^{x} f (- x) d x}{1 + e^{x}}

Do

f (x)

là hàm số chẵn nên

f (x) = f (- x) \forall x \in [- 1; 1] \Rightarrow I = \int_{- 1}^{1} \frac{e^{x} f (x)}{1 + e^{x}} d x

\Rightarrow I + I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x + \int_{- 1}^{1} \frac{e^{x} f (x)}{1 + e^{x}} d x = \int_{- 1}^{1} \frac{(e^{x} + 1) f (x) d x}{1 + e^{x}} = \int_{- 1}^{1} f (x) d x = 4 \Rightarrow I = 2

.

Đáp án C.