Cho $f(x)$ là hàm số bậc bốn thỏa mãn $f(0)=0.$ Hàm số...

Xét hàm số $y=f\left( {{x}^{3}} \right)-2021x=h\left( x \right)$
$h'\left( x \right)=3{{x}^{2}}.f'\left( {{x}^{3}} \right)-2021=0$
$\Leftrightarrow f'\left( {{x}^{3}} \right)=\dfrac{2021}{3{{x}^{2}}} \left( * \right)$ $$(Chỉ xét $x\ne 0$ do $x=0$ không là nghiệm của phương trình)
Đặt ${{x}^{3}}=u\Rightarrow {{x}^{2}}=\sqrt[3]{{{u}^{2}}}$. $\left( * \right)$ trở thành $f'\left( u \right)=\frac{2021}{3\sqrt[3]{{{u}^{2}}}}$
Số nghiệm của phương trình $\left( * \right)$ chính là số giao điểm của ĐTHS $y=f'\left( u \right)$ và $y=\frac{2021}{3\sqrt[3]{{{\mathsf{u}}^{2}}}}$
Xét hàm số $y=t\left( u \right)=\frac{2021}{3\sqrt[3]{{{u}^{2}}}}\Rightarrow t'\left( u \right)=-\frac{4042}{9}.\frac{1}{\sqrt[3]{{{u}^{5}}}}$. Ta có BBT:

$\Rightarrow $ Ta có ĐTHS $y=f'\left( u \right)$ và $y=\frac{2021}{3\sqrt[3]{{{u}^{2}}}}$ như sau:

Dựa vào ĐTHS, ta thấy đồ thị hàm $y=f'\left( u \right)$ và đồ thị hàm $y=\frac{2021}{3\sqrt[3]{{{u}^{2}}}}$ có 1 giao điểm có hoành độ là $a$
$\Rightarrow $ Phương trình $f'\left( u \right)=\frac{2021}{3\sqrt[3]{{{u}^{2}}}}$ có 1 nghiệm $u=a>0$
$\Rightarrow $ Phương trình $\left( * \right)$ có $1$ nghiệm $x=\sqrt[3]{a}$
$\Rightarrow $ Phương trình $h'\left( x \right)=0$ có $1$ nghiệm $x=\sqrt[3]{a}$
Ta có BBT của hàm số $h\left( x \right)$

(Giải thích $\left( 1 \right)$ $h\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)-0=0$ )
Từ BBT của hàm số $y=h\left( x \right)$,ta thu được BBT của hàm số $y=g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|$

$\Rightarrow $ Hàm $g\left( x \right)$ có $3$ cực trị