Google
Câu hỏi: Cho $F\left( x \right)=-x{{e}^{x}}$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right){{e}^{2x}}$. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ${f}'\left( x \right){{e}^{2x}}$
A. $\left( x-2 \right){{e}^{x}}+C$.
B. $2\left( 1-x \right){{e}^{x}}+C$.
C. $\left( x-1 \right){{e}^{x}}+C$.
D. $\dfrac{1-x}{2}{{e}^{x}}+C$.
A. $\left( x-2 \right){{e}^{x}}+C$.
B. $2\left( 1-x \right){{e}^{x}}+C$.
C. $\left( x-1 \right){{e}^{x}}+C$.
D. $\dfrac{1-x}{2}{{e}^{x}}+C$.
Ta có $f\left( x \right){{e}^{2x}}={{\left( -x{{e}^{x}} \right)}^{\prime }}=-{{e}^{x}}\left( x+1 \right)\Rightarrow f\left( x \right)=-\dfrac{x+1}{{{e}^{x}}}$, khi đó ${f}'\left( x \right)=\dfrac{x}{{{e}^{x}}}$.
Vậy $\int{{f}'\left( x \right){{e}^{2x}}\text{d}x}=\int{x{{e}^{x}}\text{d}x}=\int{x\text{d}{{e}^{x}}}=x.{{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}\text{d}x}=x.{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+C=\left( x-1 \right){{e}^{x}}+C$.
Vậy $\int{{f}'\left( x \right){{e}^{2x}}\text{d}x}=\int{x{{e}^{x}}\text{d}x}=\int{x\text{d}{{e}^{x}}}=x.{{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}\text{d}x}=x.{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+C=\left( x-1 \right){{e}^{x}}+C$.
Đáp án C.