Google
Câu hỏi: Cho $f\left( x \right)$ mà hàm số $y=f'\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình bên dưới. Tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình $m+{{x}^{2}}<f\left( x \right)+\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0;3 \right)$ là:
A. $m<f\left( 0 \right)$
B. $m\le f\left( 0 \right)$
C. $m\le f\left( 3 \right)$
D. $m<f\left( 1 \right)-\dfrac{2}{3}$
A. $m<f\left( 0 \right)$
B. $m\le f\left( 0 \right)$
C. $m\le f\left( 3 \right)$
D. $m<f\left( 1 \right)-\dfrac{2}{3}$
$m+{{x}^{2}}<f\left( x \right)+\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}$ nghiệm đúng $\forall x\in \left( 0;3 \right)$
$g\left( x \right)=f\left( x \right)+\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}>m$ nghiệm đúng $\forall x\in \left( 0;3 \right)\Rightarrow m\le \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{min}} g\left( x \right).$
Ta có: $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)+{{x}^{2}}-2\text{x}$
Dựa vào BBT ta thấy:
Dựa vào BBT, suy ra: $1<f'\left( x \right)\le 3,\forall x\in \left( 0;3 \right)\Rightarrow -1\le {{x}^{2}}-2\text{x}\le 3$
$\Rightarrow g'\left( x \right)\ge \forall x\in \left( 0;3 \right)\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên (0; 3).
$\Rightarrow \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{min}} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)\Leftrightarrow m\le f\left( 0 \right)$
$g\left( x \right)=f\left( x \right)+\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}>m$ nghiệm đúng $\forall x\in \left( 0;3 \right)\Rightarrow m\le \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{min}} g\left( x \right).$
Ta có: $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)+{{x}^{2}}-2\text{x}$
Dựa vào BBT ta thấy:
Dựa vào BBT, suy ra: $1<f'\left( x \right)\le 3,\forall x\in \left( 0;3 \right)\Rightarrow -1\le {{x}^{2}}-2\text{x}\le 3$
$\Rightarrow g'\left( x \right)\ge \forall x\in \left( 0;3 \right)\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên (0; 3).
$\Rightarrow \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{min}} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)\Leftrightarrow m\le f\left( 0 \right)$
Đáp án B.