Google
Câu hỏi: Cho $f\left( x \right)$ mà hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $m+{{x}^{2}}<f\left( x \right)+\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0;3 \right)$ là
A. $m<f\left( 0 \right)$
B. $m\le f\left( 0 \right)$
C. $m\le f\left( 3 \right)$
D. $m\le f\left( 1 \right)-\dfrac{2}{3}$
A. $m<f\left( 0 \right)$
B. $m\le f\left( 0 \right)$
C. $m\le f\left( 3 \right)$
D. $m\le f\left( 1 \right)-\dfrac{2}{3}$
HD: $BPT\Leftrightarrow m<f\left( x \right)+\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}=g\left( x \right)$
Xét hàm số $g\left( x \right)$ trên với $x\in \left( 0;3 \right).$
Ta có: ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+{{x}^{2}}-2x={f}'\left( x \right)-1+{{\left( x-1 \right)}^{2}}$
Dựa vào BBT ta thấy trên với $x\in \left( 0;3 \right)$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)>1 \\
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0\left( \forall x\in \left( 0;3 \right) \right).$
Suy ra ${g}'\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;3 \right)\Rightarrow g(x)>g\left( 0 \right)\left( \forall x\in \left( 0;3 \right) \right)$
Do đó $m<g\left( x \right)$ với mọi $x\in \left( 0;3 \right)\Leftrightarrow m\le g\left( 0 \right)=f\left( 0. \right)$
Xét hàm số $g\left( x \right)$ trên với $x\in \left( 0;3 \right).$
Ta có: ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+{{x}^{2}}-2x={f}'\left( x \right)-1+{{\left( x-1 \right)}^{2}}$
Dựa vào BBT ta thấy trên với $x\in \left( 0;3 \right)$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)>1 \\
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0\left( \forall x\in \left( 0;3 \right) \right).$
Suy ra ${g}'\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;3 \right)\Rightarrow g(x)>g\left( 0 \right)\left( \forall x\in \left( 0;3 \right) \right)$
Do đó $m<g\left( x \right)$ với mọi $x\in \left( 0;3 \right)\Leftrightarrow m\le g\left( 0 \right)=f\left( 0. \right)$
Đáp án B.