Cho $f\left( x \right)$ mà đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$...

Xét bất phương trình $f\left( x \right)>\sin \dfrac{\pi x}{2}+m\left( 1 \right)$ với $x\in \left[ -1;3 \right]$, ta có:
$f\left( x \right)>\sin \dfrac{\pi x}{2}+m\Leftrightarrow f\left( x \right)-\sin \dfrac{\pi x}{2}>m\left( 2 \right)$
Đánh giá $f\left( x \right)-\sin \dfrac{\pi x}{2}$ với $x\in \left[ -1;3 \right]$
+ Từ đồ thị của hàm số $y={f}'\left( x \right)$ đã cho ta suy ra BBT của $f\left( x \right)$ như sau:
Từ BBT ta suy ra: $f\left( x \right)\ge f\left( 1 \right),\forall x\in \left[ -1;3 \right]$ (*)
+ Do $x\in \left[ -1;3 \right]$ nên: $-1\le x\le 3\Leftrightarrow -\dfrac{\pi }{2}\le \dfrac{\pi x}{2}\le \dfrac{3\pi }{2}$
Suy ra: $-1\le \sin \dfrac{\pi x}{2}\le 1\Leftrightarrow -1\le -\sin \dfrac{\pi x}{2}\le 1$ (**)
+ Từ (*) và (**) cho ta: $f\left( x \right)-\sin \dfrac{\pi x}{2}\ge f\left( 1 \right)-1,\forall x\in \left[ -1;3 \right]$. Dấu "=" xảy ra khi $x=1$
Do đó: Bất phương trình $f\left( x \right)>\sin \dfrac{\pi x}{2}+m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left[ -1;3 \right]$
$\Leftrightarrow m<f\left( 1 \right)-1.$