Google
Câu hỏi: Cho $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{\sin }^{2}}x$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F\left( \dfrac{\pi }{4} \right)=0$. Giá trị của biểu thức $S=F\left( -\pi \right)+2F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)$ bằng
A. $S=\dfrac{3}{4}-\dfrac{\pi }{4}$.
B. $S=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3\pi }{8}$.
C. $S=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3\pi }{8}$.
D. $S=\dfrac{3}{4}-\dfrac{3\pi }{8}$.
Vì Cho $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{\sin }^{2}}x$ nên ta có
$\int{{{\sin }^{2}}x\text{d}}x=\int{\dfrac{1-\cos 2x}{2}\text{d}x}=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}\sin 2x+C=F\left( x \right)$.
Ta có $F\left( \dfrac{\pi }{4} \right)=0\Rightarrow \dfrac{\pi }{8}-\dfrac{1}{4}+C=0\Rightarrow C=\dfrac{1}{4}-\dfrac{\pi }{8}$.
Suy ra $F\left( x \right)=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}\sin 2x+\dfrac{1}{4}-\dfrac{\pi }{8}$.
Khi đó $S=F\left( -\pi \right)+2F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=\left( \dfrac{1}{4}-\dfrac{5\pi }{8} \right)+2\left( \dfrac{1}{4}+\dfrac{\pi }{8} \right)=\dfrac{3}{4}-\dfrac{3\pi }{8}$.
A. $S=\dfrac{3}{4}-\dfrac{\pi }{4}$.
B. $S=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3\pi }{8}$.
C. $S=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3\pi }{8}$.
D. $S=\dfrac{3}{4}-\dfrac{3\pi }{8}$.
Vì Cho $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{\sin }^{2}}x$ nên ta có
$\int{{{\sin }^{2}}x\text{d}}x=\int{\dfrac{1-\cos 2x}{2}\text{d}x}=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}\sin 2x+C=F\left( x \right)$.
Ta có $F\left( \dfrac{\pi }{4} \right)=0\Rightarrow \dfrac{\pi }{8}-\dfrac{1}{4}+C=0\Rightarrow C=\dfrac{1}{4}-\dfrac{\pi }{8}$.
Suy ra $F\left( x \right)=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}\sin 2x+\dfrac{1}{4}-\dfrac{\pi }{8}$.
Khi đó $S=F\left( -\pi \right)+2F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=\left( \dfrac{1}{4}-\dfrac{5\pi }{8} \right)+2\left( \dfrac{1}{4}+\dfrac{\pi }{8} \right)=\dfrac{3}{4}-\dfrac{3\pi }{8}$.
Đáp án D.