Google
Câu hỏi: Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1}{2x-1}$. Biết $F\left( 1 \right)=1$, giá trị của $F\left( 5 \right)$ bằng
A. $1+\ln 2$.
B. $1+\ln 3$.
C. $\ln 3$.
D. $\ln 2$.
A. $1+\ln 2$.
B. $1+\ln 3$.
C. $\ln 3$.
D. $\ln 2$.
Cách 1.
$\int{f\left( x \right)\text{d}x}=\int{\dfrac{1}{2x-1}\text{d}x}=\dfrac{1}{2}\ln \left| 2x-1 \right|+C$
Với $x>\dfrac{1}{2}$.
Khi đó: $F\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\ln \left( 2x-1 \right)+C$. Ta có: $F\left( 1 \right)=1\Leftrightarrow C=1$ suy ra $F\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\ln \left( 2x-1 \right)+1$.
Vậy $F\left( 5 \right)=\dfrac{1}{2}\ln \left( 2.5-1 \right)+1=1+\ln 3$
Cách 2.
Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 1 ;5 \right]$
Khi đó: $\int\limits_{1}^{5}{f\left( x \right)}\text{d}x=F\left( 5 \right)-F\left( 1 \right)\Leftrightarrow F\left( 5 \right)=F\left( 1 \right)+\int\limits_{1}^{5}{\dfrac{1}{2x-1}}\text{d}x=1+\ln 3$.
$\int{f\left( x \right)\text{d}x}=\int{\dfrac{1}{2x-1}\text{d}x}=\dfrac{1}{2}\ln \left| 2x-1 \right|+C$
Với $x>\dfrac{1}{2}$.
Khi đó: $F\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\ln \left( 2x-1 \right)+C$. Ta có: $F\left( 1 \right)=1\Leftrightarrow C=1$ suy ra $F\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\ln \left( 2x-1 \right)+1$.
Vậy $F\left( 5 \right)=\dfrac{1}{2}\ln \left( 2.5-1 \right)+1=1+\ln 3$
Cách 2.
Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 1 ;5 \right]$
Khi đó: $\int\limits_{1}^{5}{f\left( x \right)}\text{d}x=F\left( 5 \right)-F\left( 1 \right)\Leftrightarrow F\left( 5 \right)=F\left( 1 \right)+\int\limits_{1}^{5}{\dfrac{1}{2x-1}}\text{d}x=1+\ln 3$.
Đáp án B.