Cho $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Cho

F (x)

là một nguyên hàm của hàm số

f (x) = \frac{6 x^{2} + 13 x + 11}{2 x^{2} + 5 x + 2}

và thỏa mãn

F (2) = 7

. Biết rằng

F (\frac{1}{2}) = \frac{5}{2} + a \ln 2 + b \ln 5

, trong đó a, b là các số nguyên. Tính trung bình cộng của a và b.
A. 10
B. 8
C. 5
D. 3

Ta có

f (x) = 3 = \frac{4}{2 x + 1} - \frac{3}{x + 2}

nên

F (x) = 3 x + 2 \ln | 2 x + 1 | - 3 \ln | x + 2 | + C

Do đó

F (2) = 7 \Leftrightarrow 6 + 2 \ln 5 - 3 \ln 4 + C = 7 \Leftrightarrow C = 1 + 6 \ln 2 - 2 \ln 5

Suy ra

F (x) = 3 x + 2 \ln | 2 x + 1 | - 3 \ln | x + 2 | + 1 + 6 \ln 2 - 2 \ln 5

Ta có

F (\frac{1}{2}) = \frac{5}{2} + 11 \ln 2 - 5 \ln 5

. Từ đó, ta có

a = 11, b = - 5

.
Vậy trung bình cộng của a và b là

\frac{11 + (- 5)}{2} = 3

.

Đáp án D.

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x...