Google
Câu hỏi: Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{\sin }^{3}}x.\cos x$ và $F\left( 0 \right)=\pi .$ Tìm $F\left( \dfrac{\pi }{2} \right).$
A. $F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=\dfrac{1}{4}+\pi .$
B. $F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=-\dfrac{1}{4}+\pi $
C. $F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=-\pi .$
D. $F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=\pi .$
A. $F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=\dfrac{1}{4}+\pi .$
B. $F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=-\dfrac{1}{4}+\pi $
C. $F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=-\pi .$
D. $F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=\pi .$
Phương pháp:
Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến, đặt $t=\sin .$
Cách giải:
Đặt $t=\sin \Rightarrow dx=\cos xdx.$
$\Rightarrow F\left( x \right)=\int{{{\sin }^{3}}x.\cos xdx}=\int{{{t}^{3}}dt}=\dfrac{{{t}^{4}}}{4}+C=\dfrac{{{\sin }^{4}}x}{4}+C.$
Mà $F\left( 0 \right)=\pi \Rightarrow C=\pi .$
$F\left( x \right)=\dfrac{1}{4}{{\sin }^{4}}x+\pi .$
Vậy $F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=\dfrac{1}{4}{{\sin }^{4}}\dfrac{\pi }{2}+\pi =\dfrac{1}{4}+\pi .$
Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến, đặt $t=\sin .$
Cách giải:
Đặt $t=\sin \Rightarrow dx=\cos xdx.$
$\Rightarrow F\left( x \right)=\int{{{\sin }^{3}}x.\cos xdx}=\int{{{t}^{3}}dt}=\dfrac{{{t}^{4}}}{4}+C=\dfrac{{{\sin }^{4}}x}{4}+C.$
Mà $F\left( 0 \right)=\pi \Rightarrow C=\pi .$
$F\left( x \right)=\dfrac{1}{4}{{\sin }^{4}}x+\pi .$
Vậy $F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=\dfrac{1}{4}{{\sin }^{4}}\dfrac{\pi }{2}+\pi =\dfrac{1}{4}+\pi .$
Đáp án A.