Google
Câu hỏi: Cho $f\left( x \right)$ là hàm số liên tục trên tập số thực $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f\left( {{e}^{x}}+x+1 \right)=\dfrac{{{x}^{9}}}{{{e}^{x}}+1}$. Tính $I=\int\limits_{2}^{e+2}{f\left( x \right)dx}$.
A. $\dfrac{1}{8}$.
B. $\dfrac{1}{9}$.
C. $\dfrac{1}{10}$.
D. $\dfrac{1}{11}$.
A. $\dfrac{1}{8}$.
B. $\dfrac{1}{9}$.
C. $\dfrac{1}{10}$.
D. $\dfrac{1}{11}$.
Ta có $f\left( {{e}^{x}}+x+1 \right)=\dfrac{{{x}^{9}}}{{{e}^{x}}+1}\Leftrightarrow \left( {{e}^{x}}+1 \right)f\left( {{e}^{x}}+x+1 \right)={{x}^{9}}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{\left( {{e}^{x}}+1 \right)f\left( {{e}^{x}}+x+1 \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{9}}dx}$.
Xét $J=\int\limits_{0}^{1}{\left( {{e}^{x}}+1 \right)f\left( {{e}^{x}}+x+1 \right)dx}$. Đặt $t={{e}^{x}}+x+1\Leftrightarrow dt=\left( {{e}^{x}}+1 \right)dx$
Với $x=0$ suy ra $t=2$
Với $x=1$ suy ra $t=e+2$
Suy ra $J=\int\limits_{0}^{1}{\left( {{e}^{x}}+1 \right)f\left( {{e}^{x}}+x+1 \right)dx}=\int\limits_{2}^{e+2}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{2}^{e+2}{f\left( x \right)dx}=I$
Ta có $\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{9}}dx}=\left. \dfrac{{{x}^{10}}}{10} \right|_{0}^{1}=\dfrac{1}{10}$. Vậy $I=\int\limits_{2}^{e+2}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{1}{10}$.
Xét $J=\int\limits_{0}^{1}{\left( {{e}^{x}}+1 \right)f\left( {{e}^{x}}+x+1 \right)dx}$. Đặt $t={{e}^{x}}+x+1\Leftrightarrow dt=\left( {{e}^{x}}+1 \right)dx$
Với $x=0$ suy ra $t=2$
Với $x=1$ suy ra $t=e+2$
Suy ra $J=\int\limits_{0}^{1}{\left( {{e}^{x}}+1 \right)f\left( {{e}^{x}}+x+1 \right)dx}=\int\limits_{2}^{e+2}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{2}^{e+2}{f\left( x \right)dx}=I$
Ta có $\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{9}}dx}=\left. \dfrac{{{x}^{10}}}{10} \right|_{0}^{1}=\dfrac{1}{10}$. Vậy $I=\int\limits_{2}^{e+2}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{1}{10}$.
Đáp án C.