Google
Câu hỏi: Cho $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ và liên tục trên $\left[ -a;a \right]$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. $\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}=2\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}$
B. $\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}=0$
C. $\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}=2\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}$
D. $\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}=-2\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}$
A. $\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}=2\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}$
B. $\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}=0$
C. $\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}=2\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}$
D. $\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}=-2\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}$
Ta có $\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{-a}^{0}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}$
Xét tích phân $\int\limits_{-a}^{0}{f\left( x \right)dx}$. Đặt $t=-x\Rightarrow dx=-dt$. Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=-a\Rightarrow t=a \\
& x=0\Rightarrow t=0 \\
\end{aligned} \right.$
Do $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ và liên tục trên $\left[ -a;a \right]$ nên $f\left( -x \right)=-f\left( x \right)\Rightarrow f\left( -t \right)=-f\left( t \right)$
Khi đó
$\int\limits_{-a}^{0}{f\left( x \right)dx}=-\int\limits_{a}^{0}{f\left( -t \right)dt}=-\int\limits_{a}^{0}{\left[ -f\left( t \right) \right]dt}=\int\limits_{a}^{0}{f\left( t \right)dt}=-\int\limits_{0}^{a}{f\left( t \right)dt}=-\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}$
Vậy $\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{-a}^{0}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}=-\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}=0$
Xét tích phân $\int\limits_{-a}^{0}{f\left( x \right)dx}$. Đặt $t=-x\Rightarrow dx=-dt$. Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=-a\Rightarrow t=a \\
& x=0\Rightarrow t=0 \\
\end{aligned} \right.$
Do $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ và liên tục trên $\left[ -a;a \right]$ nên $f\left( -x \right)=-f\left( x \right)\Rightarrow f\left( -t \right)=-f\left( t \right)$
Khi đó
$\int\limits_{-a}^{0}{f\left( x \right)dx}=-\int\limits_{a}^{0}{f\left( -t \right)dt}=-\int\limits_{a}^{0}{\left[ -f\left( t \right) \right]dt}=\int\limits_{a}^{0}{f\left( t \right)dt}=-\int\limits_{0}^{a}{f\left( t \right)dt}=-\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}$
Vậy $\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{-a}^{0}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}=-\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}=0$
Đáp án B.