Google
Câu hỏi: Cho $f\left( x \right)$ là hàm số đa thức bậc bốn và hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong như hình dưới đây.
Hàm số $g\left( x \right)=f\left( \sin x-1 \right)+\dfrac{\cos 2x}{4}$ có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoảng $\left( 0;2\pi \right)$ ?
A. $0$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $1$.
A. $0$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $1$.
Ta có $g'(x)=\cos x.f'\left( \sin x-1 \right)-\dfrac{\sin 2x}{2}=\cos x.f'\left( \sin x-1 \right)-\cos x.\sin x=\cos x.\left[ f'\left( \sin x-1 \right)-\sin x \right]$
$g'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\cos x=0 \\
f'(\sin x-1)=\sin x \\
\end{matrix} \right.$
+) $\cos x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{2};x=\dfrac{3\pi }{2}$
+) $f'(\sin x-1)=\sin x$
Đặt $t=\sin x-1$ với $t\in \left[ -2;0 \right]$.
$f'(\sin x-1)=\sin x$ trở thành $f'(t)=t+1$.
Vẽ đường thẳng $y=t+1$ cắt đồ thị hàm số $y=f'(t)$ tại hai điểm ${{t}_{1}}=-1\in \left[ -2;0 \right];{{t}_{2}}=1\notin \left[ -2;0 \right];{{t}_{3}}=a\notin \left[ -2;0 \right]$.
Với ${{t}_{1}}=-1\Rightarrow \sin x-1=-1\Leftrightarrow \sin x=0\Leftrightarrow x=\pi \in \left( 0;2\pi \right)$.
Vậy $g'(x)=0$ có ba nghiệm đơn phân biệt nên hàm số có 3 điểm cực trị.
$g'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\cos x=0 \\
f'(\sin x-1)=\sin x \\
\end{matrix} \right.$
+) $\cos x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{2};x=\dfrac{3\pi }{2}$
+) $f'(\sin x-1)=\sin x$
Đặt $t=\sin x-1$ với $t\in \left[ -2;0 \right]$.
$f'(\sin x-1)=\sin x$ trở thành $f'(t)=t+1$.
Vẽ đường thẳng $y=t+1$ cắt đồ thị hàm số $y=f'(t)$ tại hai điểm ${{t}_{1}}=-1\in \left[ -2;0 \right];{{t}_{2}}=1\notin \left[ -2;0 \right];{{t}_{3}}=a\notin \left[ -2;0 \right]$.
Với ${{t}_{1}}=-1\Rightarrow \sin x-1=-1\Leftrightarrow \sin x=0\Leftrightarrow x=\pi \in \left( 0;2\pi \right)$.
Vậy $g'(x)=0$ có ba nghiệm đơn phân biệt nên hàm số có 3 điểm cực trị.
Đáp án C.