Google
Câu hỏi: Cho $f\left( x \right)$ là hàm số chẵn và liên tục trên $\mathbb{R}$. Nếu $\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}=1010$ thì $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$ bằng
A. 4040
B. 505
C. 2020
D. 1010
A. 4040
B. 505
C. 2020
D. 1010
Do $f\left( x \right)$ là hàm số chẵn nên $f\left( -x \right)=f\left( x \right)$ và $\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)dx}=2\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$.
Xét $I=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}=1010$. Đặt $x=-t\Rightarrow d\text{x}=-dt$.
Đổi cận: $x=-1\Rightarrow t=1$.
$x=1\Rightarrow t=-1$.
$\Rightarrow I=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}=\int\limits_{1}^{-1}{\dfrac{f\left( -t \right)}{1+{{e}^{-t}}}\left( -dt \right)}=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{{{e}^{t}}.f\left( -t \right)}{1+{{e}^{t}}}dt}=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{{{e}^{t}}.f\left( t \right)}{1+{{e}^{t}}}dt}=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{{{e}^{x}}.f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}$
$\Rightarrow \int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{{{e}^{x}}.f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}=1010$.
Khi đó: $\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}+\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{{{e}^{x}}.f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{\left( {{e}^{x}}+1 \right).f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)d\text{x}}=1010+1010=2020$
$\Rightarrow 2\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)d\text{x}}=2020\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)d\text{x}}=1010$.
Xét $I=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}=1010$. Đặt $x=-t\Rightarrow d\text{x}=-dt$.
Đổi cận: $x=-1\Rightarrow t=1$.
$x=1\Rightarrow t=-1$.
$\Rightarrow I=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}=\int\limits_{1}^{-1}{\dfrac{f\left( -t \right)}{1+{{e}^{-t}}}\left( -dt \right)}=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{{{e}^{t}}.f\left( -t \right)}{1+{{e}^{t}}}dt}=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{{{e}^{t}}.f\left( t \right)}{1+{{e}^{t}}}dt}=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{{{e}^{x}}.f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}$
$\Rightarrow \int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{{{e}^{x}}.f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}=1010$.
Khi đó: $\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}+\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{{{e}^{x}}.f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{\left( {{e}^{x}}+1 \right).f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)d\text{x}}=1010+1010=2020$
$\Rightarrow 2\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)d\text{x}}=2020\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)d\text{x}}=1010$.
Đáp án D.