Cho $f (x)$ là hàm số chẵn liên tục trong đoạn $\left[...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Cho

f (x)

là hàm số chẵn liên tục trong đoạn

[- 1; 1]

và

\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 2

. Giá trị tích phân

I = \int_{-}^{1} \frac{f (x) + 2020}{1 + e^{x}} d x

là
A.

I = 2019

B.

I = 2020

C.

I = 2021

D.

I = 2018

I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x) + 2020}{1 + e^{x}} d x = \int_{- 1}^{0} \frac{f (x) + 2020}{1 + e^{x}} d x + \int_{0}^{1} \frac{f (x) + 2020}{1 + e^{x}} d x = I_{1} + I_{2}

.
Xét

I_{1} = \int_{- 1}^{0} \frac{f (x) + 2020}{1 + e^{x}} d x

. Đặt

x = - t \Rightarrow d x = - d t

, đổi cận

x = 0 \Rightarrow t = 0, x = - 1 \Rightarrow t = 1

.

I_{1} = \int_{1}^{0} \frac{f (- t) + 2020}{1 + e^{- t}} (- d t) = \int_{0}^{1} \frac{e^{t} [f (t) + 2020]}{1 + e^{t}} d t

Ta có

\int_{0}^{1} \frac{e^{t} [f (t) + 2020]}{1 + e^{t}} d t = \int_{0}^{1} \frac{e^{x} [f (x) + 2020]}{1 + e^{x}} d x

.
Suy ra

I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x) + 2020}{1 + e^{x}} d x = \int_{0}^{1} \frac{e^{x} [f (x) + 2020]}{1 + e^{x}} d x + \int_{0}^{1} \frac{f (x) + 2020}{1 + e^{x}} d x

= \int_{0}^{1} \frac{(1 + e^{x}) [f (x) + 2020]}{1 + e^{x}} d x = \int_{0}^{1} [f (x) + 2020] d x = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} [f (x) + 2020] d x = 2021

.

Đáp án C.

Cho f(x) là hàm số chẵn liên tục trong đoạn $\left[...