Google
Câu hỏi: Cho $f\left( x \right)$ là hàm số chẵn liên tục trong đoạn $\left[ -1;1 \right]$ và $\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)d\text{x}}=2$. Giá trị tích phân $I=\int\limits_{-}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)+2020}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}$ là
A. $I=2019$
B. $I=2020$
C. $I=2021$
D. $I=2018$
A. $I=2019$
B. $I=2020$
C. $I=2021$
D. $I=2018$
$I=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)+2020}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}=\int\limits_{-1}^{0}{\dfrac{f\left( x \right)+2020}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}+\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)+2020}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}={{I}_{1}}+{{I}_{2}}$.
Xét ${{I}_{1}}=\int\limits_{-1}^{0}{\dfrac{f\left( x \right)+2020}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}$. Đặt $x=-t\Rightarrow d\text{x}=-dt$, đổi cận $x=0\Rightarrow t=0,x=-1\Rightarrow t=1$.
${{I}_{1}}=\int\limits_{1}^{0}{\dfrac{f\left( -t \right)+2020}{1+{{e}^{-t}}}\left( -dt \right)}=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{e}^{t}}\left[ f\left( t \right)+2020 \right]}{1+{{e}^{t}}}dt}$
Ta có $\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{e}^{t}}\left[ f\left( t \right)+2020 \right]}{1+{{e}^{t}}}dt}=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{e}^{x}}\left[ f\left( x \right)+2020 \right]}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}$.
Suy ra $I=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)+2020}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{e}^{x}}\left[ f\left( x \right)+2020 \right]}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}+\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)+2020}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}$
$=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{\left( 1+{{e}^{x}} \right)\left[ f\left( x \right)+2020 \right]}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}=\int\limits_{0}^{1}{\left[ f\left( x \right)+2020 \right]d\text{x}}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{-1}^{1}{\left[ f\left( x \right)+2020 \right]d\text{x}}=2021$.
Xét ${{I}_{1}}=\int\limits_{-1}^{0}{\dfrac{f\left( x \right)+2020}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}$. Đặt $x=-t\Rightarrow d\text{x}=-dt$, đổi cận $x=0\Rightarrow t=0,x=-1\Rightarrow t=1$.
${{I}_{1}}=\int\limits_{1}^{0}{\dfrac{f\left( -t \right)+2020}{1+{{e}^{-t}}}\left( -dt \right)}=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{e}^{t}}\left[ f\left( t \right)+2020 \right]}{1+{{e}^{t}}}dt}$
Ta có $\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{e}^{t}}\left[ f\left( t \right)+2020 \right]}{1+{{e}^{t}}}dt}=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{e}^{x}}\left[ f\left( x \right)+2020 \right]}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}$.
Suy ra $I=\int\limits_{-1}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)+2020}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{e}^{x}}\left[ f\left( x \right)+2020 \right]}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}+\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)+2020}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}$
$=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{\left( 1+{{e}^{x}} \right)\left[ f\left( x \right)+2020 \right]}{1+{{e}^{x}}}d\text{x}}=\int\limits_{0}^{1}{\left[ f\left( x \right)+2020 \right]d\text{x}}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{-1}^{1}{\left[ f\left( x \right)+2020 \right]d\text{x}}=2021$.
Đáp án C.