Google
Câu hỏi: Cho $f\left( x \right)$ là hàm số bậc bốn thỏa mãn $f\left( 0 \right)=\dfrac{1}{2021}.$ Hàm số $f'\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số $g\left( x \right)=\left| f\left( {{x}^{3}} \right)+x \right|$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1
B. 5
C. 2
D. 3
Hàm số $g\left( x \right)=\left| f\left( {{x}^{3}} \right)+x \right|$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1
B. 5
C. 2
D. 3
Phương pháp:
Số cực trị của hàm số $y=|f(x)|=$ số điểm cực trị của hàm số $f(x)+$ số nghiệm của phương trình $f(x)=0$ (không tính nghiệm kép).
Cách giải:
Xét hàm số $h(x)=f\left(x^{3}\right)+x$ ta có $h^{\prime}(x)=3 x^{2} f^{\prime}\left(x^{3}\right)+1=0 \Leftrightarrow f^{\prime}\left(x^{3}\right)=-\dfrac{1}{3 x^{2}}(*)$.
Đặt $t=x^{3} \Rightarrow x=\sqrt[3]{t}$, khi đó $(*) \Leftrightarrow f^{\prime}(t)=-\dfrac{1}{3 \sqrt[3]{t^{2}}}(* *)$.
Xét hàm số $y=-\dfrac{1}{3 \sqrt[3]{t^{2}}}=-\dfrac{1}{3} \cdot t^{\dfrac{-2}{3}}$ ta có $y^{\prime}=-\dfrac{1}{3} \cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right) t^{-\dfrac{5}{3}}=\dfrac{2}{9 \sqrt[3]{t^{5}}}$.
$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}<0 \text { khi } t<0 \\ y^{\prime}>0 \text { khi } t>0\end{array} .\right.$
BBT hai hàm số $f^{\prime}(t)$ và $y=-\dfrac{1}{3 \sqrt[3]{t^{2}}}$ như sau:
Dựa vào $\mathrm{BBT}$ ta thấy $\left({ }^{*} *\right)$ có nghiệm duy nhất $t=t_{0}>0$.
Suy ra hàm số $h(x)$ có 1 điểm cực trị nên ta có $\mathrm{BBT}$ hàm số $h(x)$ như sau:
Dựa vào $\mathrm{BBT}$ ta thấy phương trình $h(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy hàm số $g(x)=|h(x)|$ có $2+1=3$ điểm cực trị.
Số cực trị của hàm số $y=|f(x)|=$ số điểm cực trị của hàm số $f(x)+$ số nghiệm của phương trình $f(x)=0$ (không tính nghiệm kép).
Cách giải:
Xét hàm số $h(x)=f\left(x^{3}\right)+x$ ta có $h^{\prime}(x)=3 x^{2} f^{\prime}\left(x^{3}\right)+1=0 \Leftrightarrow f^{\prime}\left(x^{3}\right)=-\dfrac{1}{3 x^{2}}(*)$.
Đặt $t=x^{3} \Rightarrow x=\sqrt[3]{t}$, khi đó $(*) \Leftrightarrow f^{\prime}(t)=-\dfrac{1}{3 \sqrt[3]{t^{2}}}(* *)$.
Xét hàm số $y=-\dfrac{1}{3 \sqrt[3]{t^{2}}}=-\dfrac{1}{3} \cdot t^{\dfrac{-2}{3}}$ ta có $y^{\prime}=-\dfrac{1}{3} \cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right) t^{-\dfrac{5}{3}}=\dfrac{2}{9 \sqrt[3]{t^{5}}}$.
$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}<0 \text { khi } t<0 \\ y^{\prime}>0 \text { khi } t>0\end{array} .\right.$
BBT hai hàm số $f^{\prime}(t)$ và $y=-\dfrac{1}{3 \sqrt[3]{t^{2}}}$ như sau:
Dựa vào $\mathrm{BBT}$ ta thấy $\left({ }^{*} *\right)$ có nghiệm duy nhất $t=t_{0}>0$.
Suy ra hàm số $h(x)$ có 1 điểm cực trị nên ta có $\mathrm{BBT}$ hàm số $h(x)$ như sau:
Dựa vào $\mathrm{BBT}$ ta thấy phương trình $h(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy hàm số $g(x)=|h(x)|$ có $2+1=3$ điểm cực trị.
Đáp án D.