Cho $f\left( x \right)$ là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ sau...

Đặt $t=a{{x}^{2}}-1$ $\left( t>-1 \right)$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{1}{a}\left( t+1 \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\sqrt{t+1}, \left( x>0 \right) \\
& x=-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\sqrt{t+1}, \left( x<0 \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( t \right)=\dfrac{\sqrt{a}}{b\sqrt{t+1}} \\
& f\left( t \right)=-\dfrac{\sqrt{a}}{b\sqrt{t+1}} \\
\end{aligned} \right.$.
Vẽ thêm đồ thị hai hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{a}}{b\sqrt{x+1}}$ ; $h\left( x \right)=-\dfrac{\sqrt{a}}{b\sqrt{x+1}}$.
Vậy phương trình có 7 nghiệm khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& g\left( 1 \right)<1 \\
& h\left( 3 \right)>\dfrac{3}{4} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{2}b}<1 \\
& -\dfrac{\sqrt{a}}{2b}>-\dfrac{3}{4} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \sqrt{a}<\sqrt{2}b $ $ \Leftrightarrow a<2{{b}^{2}}$.
+ Nếu $2{{b}^{2}}>15$ $\Rightarrow b\in \left\{ 3;...;15 \right\}$ $\Rightarrow a\in \left\{ 1;...;16-b \right\}$ $\Rightarrow \sum\limits_{b=3}^{15}{\left( 16-b \right)}=91$ cặp.
+) Nếu $2{{b}^{2}}\le 15$ $\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=1\Rightarrow a<2\Rightarrow a=1 \\
& b=2\Rightarrow a<8\Rightarrow a\in \left\{ 1;...;7 \right\} \\
\end{aligned} \right.$ có 8 cặp.
Vậy tất cả có 99 cặp số nguyên dương thỏa mãn.