Google
Câu hỏi: Cho $f\left( x \right)$ là hàm đa thức bậc $2$ có đồ thị như hình vẽ. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên âm của tham số $m$ để phương trình: $5f\left( \left| x \right| \right)=mx-m-10$ có $4$ nghiệm phân biệt. Số phần tử của tập hợp $S$ là:
A. $3$.
B. $4$.
C. $5$.
D. $6$.
A. $3$.
B. $4$.
C. $5$.
D. $6$.
Giả sử hàm số có dạng $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c ,\left( a\ne 0 \right)$.
ĐTHS $y=f\left( x \right)$ đi qua $3$ điểm có tọa độ $\left( 0 ;-1 \right)$, $\left( 2 ;-3 \right)$ và $\left( 4 ;-1 \right)$.
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& c=-1 \\
& 4a+2b+c=-3 \\
& 16a+4b+c=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{2} \\
& b=-2 \\
& c=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-2x-1$.
Do đó $f\left( \left| x \right| \right)=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-2\left| x \right|-1$.
Ta có: $5f\left( \left| x \right| \right)=mx-m-10\Leftrightarrow 5\left( \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-2\left| x \right|-1 \right)=m\left( x-1 \right)-10$
$\Leftrightarrow $ $\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}-10\left| x \right|+5=m\left( x-1 \right)$ $\left( 1 \right)$.
Trường hợp 1: $x=1$ khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow -\dfrac{5}{2}=0$ (vô lý).
Trường hợp 2: $x\ne 1$ khi đó $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow $ $\dfrac{\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}-10\left| x \right|+5}{x-1}=m$.
Đặt ĐTHS $\left( C \right):g\left( x \right)=\dfrac{\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}-10\left| x \right|+5}{x-1}$ và đường thẳng $d:y=m$.
Khi đó $g\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}-10x+5}{x-1},x\ge 0 ,x\ne 1 \\
& \dfrac{\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}+10x+5}{x-1} ,x<0 \\
\end{aligned} \right. $.
Với $x\ge 0 ,x\ne 1$ ta có ${g}'\left( x \right)=\dfrac{\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}-5x+5}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$ $\Rightarrow $ ${g}'\left( x \right)=0$ Vô nghiệm.
Với $x<0$ ta có ${g}'\left( x \right)=\dfrac{\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}-5x-15}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$ $\Rightarrow $ ${g}'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1+\sqrt{7} \left( \text{L} \right) \\
& x=1-\sqrt{7} \left( \text{N} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên:
ĐTHS $y=g\left( x \right)$
Để phương trình $5f\left( \left| x \right| \right)=mx-m-10$ có $4$ nghiệm phân biệt.
$\Leftrightarrow $ $\left( C \right)$ và $d$ cắt nhau tại $4$ điểm phân biệt.
$\Leftrightarrow $ $-5<m<15-5\sqrt{7}$ $\xrightarrow{m \text{nguy }\!\!\hat{\mathrm{e}}\!\!\text{ n }\!\!\hat{\mathrm{a}}\!\!\text{ m}}m\in \left\{ -1 ;-2 ;-3 ;-4 \right\}$.
Vậy $S=\left\{ -1 ;-2 ;-3 ;-4 \right\}$.
ĐTHS $y=f\left( x \right)$ đi qua $3$ điểm có tọa độ $\left( 0 ;-1 \right)$, $\left( 2 ;-3 \right)$ và $\left( 4 ;-1 \right)$.
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& c=-1 \\
& 4a+2b+c=-3 \\
& 16a+4b+c=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{2} \\
& b=-2 \\
& c=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-2x-1$.
Do đó $f\left( \left| x \right| \right)=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-2\left| x \right|-1$.
Ta có: $5f\left( \left| x \right| \right)=mx-m-10\Leftrightarrow 5\left( \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-2\left| x \right|-1 \right)=m\left( x-1 \right)-10$
$\Leftrightarrow $ $\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}-10\left| x \right|+5=m\left( x-1 \right)$ $\left( 1 \right)$.
Trường hợp 1: $x=1$ khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow -\dfrac{5}{2}=0$ (vô lý).
Trường hợp 2: $x\ne 1$ khi đó $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow $ $\dfrac{\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}-10\left| x \right|+5}{x-1}=m$.
Đặt ĐTHS $\left( C \right):g\left( x \right)=\dfrac{\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}-10\left| x \right|+5}{x-1}$ và đường thẳng $d:y=m$.
Khi đó $g\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}-10x+5}{x-1},x\ge 0 ,x\ne 1 \\
& \dfrac{\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}+10x+5}{x-1} ,x<0 \\
\end{aligned} \right. $.
Với $x\ge 0 ,x\ne 1$ ta có ${g}'\left( x \right)=\dfrac{\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}-5x+5}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$ $\Rightarrow $ ${g}'\left( x \right)=0$ Vô nghiệm.
Với $x<0$ ta có ${g}'\left( x \right)=\dfrac{\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}-5x-15}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$ $\Rightarrow $ ${g}'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1+\sqrt{7} \left( \text{L} \right) \\
& x=1-\sqrt{7} \left( \text{N} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên:
ĐTHS $y=g\left( x \right)$
Để phương trình $5f\left( \left| x \right| \right)=mx-m-10$ có $4$ nghiệm phân biệt.
$\Leftrightarrow $ $\left( C \right)$ và $d$ cắt nhau tại $4$ điểm phân biệt.
$\Leftrightarrow $ $-5<m<15-5\sqrt{7}$ $\xrightarrow{m \text{nguy }\!\!\hat{\mathrm{e}}\!\!\text{ n }\!\!\hat{\mathrm{a}}\!\!\text{ m}}m\in \left\{ -1 ;-2 ;-3 ;-4 \right\}$.
Vậy $S=\left\{ -1 ;-2 ;-3 ;-4 \right\}$.
Đáp án B.