Cho $f\left(x\right)$ là hàm bậc bốn thỏa mãn $f\left( 0...

Hàm số $f^{\prime }\left(x\right)$ là hàm bậc ba, đạt cực trị tại các điểm $x=-5$ và $x=-3$ nên ta có:
$f^{″}\left(x\right)=a(x+3)(x+5)=a(x^2+8x+15)$ $\Rightarrow$ $f^{\prime }\left(x\right)=a({\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+4x^2+15x)+d$
Từ bảng biến thiên ta có: $\{\begin{array}{rl}& f^{\prime }(-5)=-{\displaystyle \frac{53}{3}}\\ & f^{\prime }(-3)=-19\end{array}$$\Rightarrow$ $\{\begin{array}{rl}& a=1\\ & d=-1\end{array}$
$\Rightarrow$ $f^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+4x^2+15x-1={\displaystyle \frac{1}{3}}x(x^2+4x+15)-1$
Xét hàm số $h\left(x\right)=f\left(x^5\right)-x-2$
$h^{\prime }\left(x\right)=5x^4{f}^{\prime }\left(x^5\right)-1$
$h^{\prime }\left(x\right)=0$ $\iff$ $f^{\prime }\left(x^5\right)={\displaystyle \frac{1}{5x^4}}$ $\left(1\right)$ (do $x=0$ không thỏa mãn phương trình)
$\bullet$ Nếu $x<0$ thì $f^{\prime }\left(x\right)<0$ nên $f^{\prime }\left(x^5\right)<0\mathrm{\forall }x<0$ $\Rightarrow$ $\left(1\right)$ không có nghiệm trên $(-\mathrm{\infty };0)$.
$\bullet$ Nếu $x>0$ :
Từ bảng biến thiên $\Rightarrow$ Hàm số $f^{\prime }\left(x\right)$ đồng biến trên $(0;+\mathrm{\infty })$ $\Rightarrow$ Hàm số $f^{\prime }\left(x^5\right)$ đồng biến trên $(0;+\mathrm{\infty })$
Dễ thấy hàm số $y={\displaystyle \frac{1}{5x^4}}$ nghịch biến trên $(0;+\mathrm{\infty })$
$\Rightarrow$ $\left(1\right)$ có tối đa một nghiệm trên $(0;+\mathrm{\infty })$
Lại có: $\underset{x\to 0^{+}}{lim}[f^{\prime }\left(x^5\right)-{\displaystyle \frac{1}{5x^4}}]=-\mathrm{\infty }$ ; $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[f^{\prime }\left(x^5\right)-{\displaystyle \frac{1}{5x^4}}]=+\mathrm{\infty }$ ; hàm số $u\left(x\right)=f^{\prime }\left(x^5\right)-{\displaystyle \frac{1}{5x^4}}$ liên tục trên $(0;+\mathrm{\infty })$ $\Rightarrow$ $\left(1\right)$ có ít nhất một nghiệm trên $(0;+\mathrm{\infty })$
Do đó $\left(1\right)$ có đúng một nghiệm $x_0\in (0;+\mathrm{\infty })$
Bảng biến thiên của hàm số $h\left(x\right)=f\left(x^5\right)-x-2$ :

Do $h\left(0\right)=-2<0$ nên $h\left(x_0\right)<0$
$\Rightarrow$ Phương trình $h\left(x\right)=0$ có hai nghiệm phân biệt
$\Rightarrow$ Hàm số $g\left(x\right)=\left|h\left(x\right)\right|=|f\left(x^5\right)-x-2|$ có $3$ điểm cực trị.