Google
Câu hỏi: Cho $f\left( x \right)$ là hàm bậc bốn thỏa mãn $f\left( 0 \right)=0$. Hàm số ${f}'\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số $g\left( x \right)=\left| f\left( {{x}^{5}} \right)-x-2 \right|$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $1$.
B. $3$.
C. $4$.
D. $2$.
Hàm số $g\left( x \right)=\left| f\left( {{x}^{5}} \right)-x-2 \right|$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $1$.
B. $3$.
C. $4$.
D. $2$.
Hàm số ${f}'\left( x \right)$ là hàm bậc ba, đạt cực trị tại các điểm $x= -5$ và $x= -3$ nên ta có:
${f}''\left( x \right)= a\left( x+3 \right)\left( x+5 \right)=a\left( {{x}^{2}}+8x+15 \right)$ $\Rightarrow $ ${f}'\left( x \right)= a\left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+ 4{{x}^{2}}+15x \right)+ d$
Từ bảng biến thiên ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( -5 \right)= -\dfrac{53}{3} \\
& {f}'\left( -3 \right)= -19 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow $ $ \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& d=-1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow $ ${f}'\left( x \right)= \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+ 4{{x}^{2}}+15x-1= \dfrac{1}{3}x\left( {{x}^{2}}+ 4x+15 \right)-1$
Xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( {{x}^{5}} \right)-x-2$
${h}'\left( x \right)=5{{x}^{4}}{f}'\left( {{x}^{5}} \right)-1$
${h}'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow $ ${f}'\left( {{x}^{5}} \right)=\dfrac{1}{5{{x}^{4}}}$ $\left( 1 \right)$ (do $x=0$ không thỏa mãn phương trình)
$\bullet $ Nếu $x<0$ thì ${f}'\left( x \right)<0$ nên ${f}'\left( {{x}^{5}} \right)<0 \forall x<0$ $\Rightarrow $ $\left( 1 \right)$ không có nghiệm trên $\left( -\infty ; 0 \right)$.
$\bullet $ Nếu $x>0$ :
Từ bảng biến thiên $\Rightarrow $ Hàm số ${f}'\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0 ; +\infty \right)$ $\Rightarrow $ Hàm số ${f}'\left( {{x}^{5}} \right)$ đồng biến trên $\left( 0 ; +\infty \right)$
Dễ thấy hàm số $y=\dfrac{1}{5{{x}^{4}}}$ nghịch biến trên $\left( 0 ; +\infty \right)$
$\Rightarrow $ $\left( 1 \right)$ có tối đa một nghiệm trên $\left( 0 ; +\infty \right)$
Lại có: $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left[ {f}'\left( {{x}^{5}} \right)-\dfrac{1}{5{{x}^{4}}} \right]=-\infty $ ; $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left[ {f}'\left( {{x}^{5}} \right)-\dfrac{1}{5{{x}^{4}}} \right]=+\infty $ ; hàm số $u\left( x \right)={f}'\left( {{x}^{5}} \right)-\dfrac{1}{5{{x}^{4}}}$ liên tục trên $\left( 0 ; +\infty \right)$ $\Rightarrow $ $\left( 1 \right)$ có ít nhất một nghiệm trên $\left( 0 ; +\infty \right)$
Do đó $\left( 1 \right)$ có đúng một nghiệm ${{x}_{0}}\in \left( 0 ; +\infty \right)$
Bảng biến thiên của hàm số $h\left( x \right)=f\left( {{x}^{5}} \right)-x-2$ :
Do $h\left( 0 \right)=-2<0$ nên $h\left( {{x}_{0}} \right)<0$
$\Rightarrow $ Phương trình $h\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt
$\Rightarrow $ Hàm số $g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|=\left| f\left( {{x}^{5}} \right)-x-2 \right|$ có $3$ điểm cực trị.
${f}''\left( x \right)= a\left( x+3 \right)\left( x+5 \right)=a\left( {{x}^{2}}+8x+15 \right)$ $\Rightarrow $ ${f}'\left( x \right)= a\left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+ 4{{x}^{2}}+15x \right)+ d$
Từ bảng biến thiên ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( -5 \right)= -\dfrac{53}{3} \\
& {f}'\left( -3 \right)= -19 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow $ $ \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& d=-1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow $ ${f}'\left( x \right)= \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+ 4{{x}^{2}}+15x-1= \dfrac{1}{3}x\left( {{x}^{2}}+ 4x+15 \right)-1$
Xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( {{x}^{5}} \right)-x-2$
${h}'\left( x \right)=5{{x}^{4}}{f}'\left( {{x}^{5}} \right)-1$
${h}'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow $ ${f}'\left( {{x}^{5}} \right)=\dfrac{1}{5{{x}^{4}}}$ $\left( 1 \right)$ (do $x=0$ không thỏa mãn phương trình)
$\bullet $ Nếu $x<0$ thì ${f}'\left( x \right)<0$ nên ${f}'\left( {{x}^{5}} \right)<0 \forall x<0$ $\Rightarrow $ $\left( 1 \right)$ không có nghiệm trên $\left( -\infty ; 0 \right)$.
$\bullet $ Nếu $x>0$ :
Từ bảng biến thiên $\Rightarrow $ Hàm số ${f}'\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0 ; +\infty \right)$ $\Rightarrow $ Hàm số ${f}'\left( {{x}^{5}} \right)$ đồng biến trên $\left( 0 ; +\infty \right)$
Dễ thấy hàm số $y=\dfrac{1}{5{{x}^{4}}}$ nghịch biến trên $\left( 0 ; +\infty \right)$
$\Rightarrow $ $\left( 1 \right)$ có tối đa một nghiệm trên $\left( 0 ; +\infty \right)$
Lại có: $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left[ {f}'\left( {{x}^{5}} \right)-\dfrac{1}{5{{x}^{4}}} \right]=-\infty $ ; $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left[ {f}'\left( {{x}^{5}} \right)-\dfrac{1}{5{{x}^{4}}} \right]=+\infty $ ; hàm số $u\left( x \right)={f}'\left( {{x}^{5}} \right)-\dfrac{1}{5{{x}^{4}}}$ liên tục trên $\left( 0 ; +\infty \right)$ $\Rightarrow $ $\left( 1 \right)$ có ít nhất một nghiệm trên $\left( 0 ; +\infty \right)$
Do đó $\left( 1 \right)$ có đúng một nghiệm ${{x}_{0}}\in \left( 0 ; +\infty \right)$
Bảng biến thiên của hàm số $h\left( x \right)=f\left( {{x}^{5}} \right)-x-2$ :
Do $h\left( 0 \right)=-2<0$ nên $h\left( {{x}_{0}} \right)<0$
$\Rightarrow $ Phương trình $h\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt
$\Rightarrow $ Hàm số $g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|=\left| f\left( {{x}^{5}} \right)-x-2 \right|$ có $3$ điểm cực trị.
Đáp án B.