Google
Câu hỏi: Cho $f\left( x \right), g\left( x \right)$ lần lượt là các hàm đa thức bậc ba và bậc nhất có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Biết diện tích hình $S$ (được tô đậm) bằng $\dfrac{250}{81}$. Tính $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}$.
A. $\dfrac{34}{15}$.
B. $\dfrac{31}{15}$.
C. $\dfrac{314}{125}.$
D. $\dfrac{11}{15}.$
A. $\dfrac{34}{15}$.
B. $\dfrac{31}{15}$.
C. $\dfrac{314}{125}.$
D. $\dfrac{11}{15}.$
Ta có $g\left( x \right)$ là hàm số bậc nhất đi qua $A\left( \dfrac{4}{3};1 \right)$ và $B\left( 3;2 \right)$ nên $g\left( x \right)=\dfrac{3}{5}x+\dfrac{1}{5}$.
Với $y=-1\Rightarrow \dfrac{3}{5}x+\dfrac{1}{5}=-1\Leftrightarrow x=-2\Rightarrow C\left( -2;-1 \right)$ là giao điểm của $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$.
Do đó $f\left( x \right)-g\left( x \right)=a\left( x+2 \right)\left( x-\dfrac{4}{3} \right)\left( x-3 \right)$.
Lại có: $S=\int\limits_{-2}^{\dfrac{4}{3}}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]\text{d}x}\Leftrightarrow \dfrac{250}{81}=\int\limits_{-2}^{\dfrac{4}{3}}{\left[ a\left( x+2 \right)\left( x-\dfrac{4}{3} \right)\left( x-3 \right) \right]\text{d}x}\Leftrightarrow a=\dfrac{3}{20}$.
Suy ra $f\left( x \right)-g\left( x \right)=\dfrac{3}{20}\left( x+2 \right)\left( x-\dfrac{4}{3} \right)\left( x-3 \right)$ $\Leftrightarrow f\left( x \right)=\dfrac{3}{20}\left( x+2 \right)\left( x-\dfrac{4}{3} \right)\left( x-3 \right)+\dfrac{3}{5}x+\dfrac{1}{5}$.
Vậy $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{0}^{2}{\left[ \dfrac{3}{20}\left( x+2 \right)\left( x-\dfrac{4}{3} \right)\left( x-3 \right)+\dfrac{3}{5}x+\dfrac{1}{5} \right]\text{d}x}=\dfrac{34}{15}$.
Với $y=-1\Rightarrow \dfrac{3}{5}x+\dfrac{1}{5}=-1\Leftrightarrow x=-2\Rightarrow C\left( -2;-1 \right)$ là giao điểm của $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$.
Do đó $f\left( x \right)-g\left( x \right)=a\left( x+2 \right)\left( x-\dfrac{4}{3} \right)\left( x-3 \right)$.
Lại có: $S=\int\limits_{-2}^{\dfrac{4}{3}}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]\text{d}x}\Leftrightarrow \dfrac{250}{81}=\int\limits_{-2}^{\dfrac{4}{3}}{\left[ a\left( x+2 \right)\left( x-\dfrac{4}{3} \right)\left( x-3 \right) \right]\text{d}x}\Leftrightarrow a=\dfrac{3}{20}$.
Suy ra $f\left( x \right)-g\left( x \right)=\dfrac{3}{20}\left( x+2 \right)\left( x-\dfrac{4}{3} \right)\left( x-3 \right)$ $\Leftrightarrow f\left( x \right)=\dfrac{3}{20}\left( x+2 \right)\left( x-\dfrac{4}{3} \right)\left( x-3 \right)+\dfrac{3}{5}x+\dfrac{1}{5}$.
Vậy $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{0}^{2}{\left[ \dfrac{3}{20}\left( x+2 \right)\left( x-\dfrac{4}{3} \right)\left( x-3 \right)+\dfrac{3}{5}x+\dfrac{1}{5} \right]\text{d}x}=\dfrac{34}{15}$.
Đáp án A.