Google
Câu hỏi: Cho $F\left( x \right)=\dfrac{1}{2{{x}^{2}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $\dfrac{f\left( x \right)}{x}$.Tìm nguyên hàm của hàm số $f'\left( x \right)lnx$
A. $\int{f'\left( x \right)}\ln xdx=\dfrac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+C$
B. $\int{f'\left( x \right)}\ln xdx=\left( \dfrac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)+C$
C. $\int{f'\left( x \right)}\ln dx=-\left( \dfrac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)+C$
D. $\int{f'\left( x \right)}\ln dx=\dfrac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+C$
A. $\int{f'\left( x \right)}\ln xdx=\dfrac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+C$
B. $\int{f'\left( x \right)}\ln xdx=\left( \dfrac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)+C$
C. $\int{f'\left( x \right)}\ln dx=-\left( \dfrac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)+C$
D. $\int{f'\left( x \right)}\ln dx=\dfrac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+C$
Phương pháp:
- F ( x ) là 1 nguyên hàm của $f\left( x \right)\Leftrightarrow F'\left( x \right)=f\left( x \right).~$
- Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần $\int udv=uv-\int vdu$.
Cách giải:
$F\left( x \right)=\dfrac{1}{2{{x}^{2}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $\dfrac{f\left( x \right)}{x}$ nên $\int{\dfrac{f\left( x \right)}{x}}dx=\dfrac{1}{2{{x}^{2}}}$
Và $\left( \dfrac{1}{2{{x}^{2}}} \right)'=\dfrac{f\left( x \right)}{x}\Leftrightarrow -\dfrac{4x}{4{{x}^{4}}}=\dfrac{f\left( x \right)}{x}\Leftrightarrow f\left( x \right)=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=\ln x \\
& dv=f'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=\dfrac{dx}{x} \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow I=f\left( x \right)\ln x-\int{\dfrac{f\left( x \right)dx}{x}} \\
& =-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\ln x-\dfrac{1}{2{{x}^{2}}}+C \\
& =-\left( \dfrac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{x}^{2}}} \right)+C \\
\end{aligned}$
- F ( x ) là 1 nguyên hàm của $f\left( x \right)\Leftrightarrow F'\left( x \right)=f\left( x \right).~$
- Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần $\int udv=uv-\int vdu$.
Cách giải:
$F\left( x \right)=\dfrac{1}{2{{x}^{2}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $\dfrac{f\left( x \right)}{x}$ nên $\int{\dfrac{f\left( x \right)}{x}}dx=\dfrac{1}{2{{x}^{2}}}$
Và $\left( \dfrac{1}{2{{x}^{2}}} \right)'=\dfrac{f\left( x \right)}{x}\Leftrightarrow -\dfrac{4x}{4{{x}^{4}}}=\dfrac{f\left( x \right)}{x}\Leftrightarrow f\left( x \right)=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=\ln x \\
& dv=f'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=\dfrac{dx}{x} \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow I=f\left( x \right)\ln x-\int{\dfrac{f\left( x \right)dx}{x}} \\
& =-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\ln x-\dfrac{1}{2{{x}^{2}}}+C \\
& =-\left( \dfrac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{x}^{2}}} \right)+C \\
\end{aligned}$
Đáp án B.