Google
Câu hỏi: Cho $F\left( x \right)=\dfrac{1}{2{{x}^{2}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $\dfrac{f\left( x \right)}{x}$. Nguyên hàm của hàm số ${f}'\left( x \right)\ln x$ là
A. $\int{{f}'\left( x \right)\ln x}dx=-\left( \dfrac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{x}^{2}}} \right)+C$
B. $\int{{f}'\left( x \right)\ln x}dx=\dfrac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+C$
C. $\int{{f}'\left( x \right)\ln x}dx=-\left( \dfrac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)+C$
D. $\int{{f}'\left( x \right)\ln x}dx=\dfrac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{x}^{2}}}+C$
A. $\int{{f}'\left( x \right)\ln x}dx=-\left( \dfrac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{x}^{2}}} \right)+C$
B. $\int{{f}'\left( x \right)\ln x}dx=\dfrac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+C$
C. $\int{{f}'\left( x \right)\ln x}dx=-\left( \dfrac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)+C$
D. $\int{{f}'\left( x \right)\ln x}dx=\dfrac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{x}^{2}}}+C$
Ta có: $\int{\dfrac{f\left( x \right)}{x}dx}=\dfrac{1}{2{{x}^{2}}}$. Chọn $f\left( x \right)=\dfrac{-1}{{{x}^{2}}}$
Khi đó: $\int{{f}'\left( x \right)\ln xdx}=\int{\dfrac{2}{{{x}^{3}}}\ln xdx}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=\ln x \\
& dv=\dfrac{2}{{{x}^{3}}}dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=\dfrac{dx}{x} \\
& v=\dfrac{-1}{{{x}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó: $\int{{f}'\left( x \right)\ln xdx}=\int{\dfrac{\ln x}{{{x}^{3}}}dx=-\dfrac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\int{\dfrac{1}{{{x}^{3}}}dx=-\left( \dfrac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{x}^{2}}} \right)+C}}$
Khi đó: $\int{{f}'\left( x \right)\ln xdx}=\int{\dfrac{2}{{{x}^{3}}}\ln xdx}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=\ln x \\
& dv=\dfrac{2}{{{x}^{3}}}dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=\dfrac{dx}{x} \\
& v=\dfrac{-1}{{{x}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó: $\int{{f}'\left( x \right)\ln xdx}=\int{\dfrac{\ln x}{{{x}^{3}}}dx=-\dfrac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\int{\dfrac{1}{{{x}^{3}}}dx=-\left( \dfrac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{x}^{2}}} \right)+C}}$
Đáp án A.