Google
Câu hỏi: Cho ${f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d}$ có hai điểm cực trị ${x=-1;x=2}$. Biết ${f\left( -1 \right).f\left( 2 \right)<0}$, hỏi đồ thị hàm số ${y=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{f\left( x \right)}}}$ có nhiều nhất bao nhiêu đường tiệm cận?
A. ${1}$.
B. ${3}$.
C. ${4}$.
D. ${2}$.
A. ${1}$.
B. ${3}$.
C. ${4}$.
D. ${2}$.
Do hàm số có hai điểm cực trị $x=-1;x=2$ nên $a\ne 0$ và $f\left( x \right)=a\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)$
$=a\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}a{{x}^{3}}-\dfrac{1}{2}a{{x}^{2}}2ax+c$ trong đó $c\in R.$
Hàm số $y=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{f\left( x \right)}}$ có điều kiện xác định là $\left\{ \begin{aligned}
& x\ge 0 \\
& f\left( x \right)>0 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có nếu $a>0\underset{x\to +\infty }{\mathop Lim} y==\underset{x\to +\infty }{\mathop Lim} \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{f\left( x \right)}}=0$ nên đồ thị hàm số $y=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{f\left( x \right)}}$ có một tiệm cận ngang là đường $y=0$, nếu $a<0$ thì
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{Lim}} f\left( x \right)=-\infty $ nên đồ thị hàm số $y=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{f\left( x \right)}}$ không có tiệm cận ngang.
f(3) số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là số nghiệm dương hoặc không âm của phương trình $f\left( x \right)=0.$ Với $a>0$, BBT của hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}a{{x}^{3}}-\dfrac{1}{2}a{{x}^{2}}-2ax+c$ là
Nếu $f\left( 0 \right)=c<0$ thì phương trình $f\left( x \right)=0$ có số nghiệm dương nhiều nhất là 2nghiệm $0<{{x}_{1}}<2<{{x}_{2}},$ khi đó $\underset{x\to x_{1}^{-}}{\mathop{Lim}} y=\underset{x\to x_{2}^{+}}{\mathop{Lim}} y$ nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là $x={{x}_{1}}$ và $x={{x}_{2}}.$
Vậy $a>0$ và $f\left( 0 \right)=c>0$ đồ thị hàm số nhiều nhất ba tiệm cận.
Tương tự khi $a<0$ Nếu $f\left( 0 \right)=c<0$ thì phương trình $f\left( x \right)=0$ có số nghiệm dương nhiều nhất là 2nghiệm $0<{{x}_{3}}\text{2 }{{x}_{4}}$ khi đó $\underset{x\to x_{4}^{-}}{\mathop{Lim\text{ y}}} =\underset{x\to x_{3}^{+}}{\mathop{Lim\text{ y}}} =+\infty $ nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là $x={{x}_{3}}$ và
$x={{x}_{4}},$ tuy nhiên trong trường hợp này hàm số không có tiệm cận ngang nên nó có nhiều nhất hai tiệm cận
Vậy đồ thị hàm số $y=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{f\left( x \right)}}$ có nhiều nhất ba đường tiệm cận.
$=a\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}a{{x}^{3}}-\dfrac{1}{2}a{{x}^{2}}2ax+c$ trong đó $c\in R.$
Hàm số $y=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{f\left( x \right)}}$ có điều kiện xác định là $\left\{ \begin{aligned}
& x\ge 0 \\
& f\left( x \right)>0 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có nếu $a>0\underset{x\to +\infty }{\mathop Lim} y==\underset{x\to +\infty }{\mathop Lim} \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{f\left( x \right)}}=0$ nên đồ thị hàm số $y=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{f\left( x \right)}}$ có một tiệm cận ngang là đường $y=0$, nếu $a<0$ thì
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{Lim}} f\left( x \right)=-\infty $ nên đồ thị hàm số $y=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{f\left( x \right)}}$ không có tiệm cận ngang.
f(3) số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là số nghiệm dương hoặc không âm của phương trình $f\left( x \right)=0.$ Với $a>0$, BBT của hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}a{{x}^{3}}-\dfrac{1}{2}a{{x}^{2}}-2ax+c$ là
Nếu $f\left( 0 \right)=c<0$ thì phương trình $f\left( x \right)=0$ có số nghiệm dương nhiều nhất là 2nghiệm $0<{{x}_{1}}<2<{{x}_{2}},$ khi đó $\underset{x\to x_{1}^{-}}{\mathop{Lim}} y=\underset{x\to x_{2}^{+}}{\mathop{Lim}} y$ nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là $x={{x}_{1}}$ và $x={{x}_{2}}.$
Vậy $a>0$ và $f\left( 0 \right)=c>0$ đồ thị hàm số nhiều nhất ba tiệm cận.
Tương tự khi $a<0$ Nếu $f\left( 0 \right)=c<0$ thì phương trình $f\left( x \right)=0$ có số nghiệm dương nhiều nhất là 2nghiệm $0<{{x}_{3}}\text{2 }{{x}_{4}}$ khi đó $\underset{x\to x_{4}^{-}}{\mathop{Lim\text{ y}}} =\underset{x\to x_{3}^{+}}{\mathop{Lim\text{ y}}} =+\infty $ nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là $x={{x}_{3}}$ và
$x={{x}_{4}},$ tuy nhiên trong trường hợp này hàm số không có tiệm cận ngang nên nó có nhiều nhất hai tiệm cận
Vậy đồ thị hàm số $y=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{f\left( x \right)}}$ có nhiều nhất ba đường tiệm cận.
Đáp án B.