Google
Câu hỏi: Cho đường thẳng $y=x-a$ ( $a$ là tham số thực dương) và đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$. Gọi ${{S}_{1}}$, ${{S}_{2}}$ lần lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi ${{S}_{1}}=\dfrac{5}{3}{{S}_{2}}$ thì $a$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( \dfrac{5}{2};\dfrac{8}{3} \right)$.
B. $\left( \dfrac{3}{2};\dfrac{9}{5} \right)$.
C. $\left( \dfrac{9}{5};\dfrac{5}{2} \right)$.
D. $\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{3}{2} \right)$
B. $\left( \dfrac{3}{2};\dfrac{9}{5} \right)$.
C. $\left( \dfrac{9}{5};\dfrac{5}{2} \right)$.
D. $\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{3}{2} \right)$
Xét phương trình hoành độ giao điểm $\sqrt{x}=x-a\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}-\left( 2a+1 \right)x+{{a}^{2}}=0 \\
x\ge 0 \\
\end{matrix} \right.$.
Từ hình vẽ ta thấy được phương trình có nghiệm duy nhất, đặt nghiệm duy nhất là $b$, khi đó:
${{S}_{1}}+{{S}_{2}}=\int\limits_{0}^{b}{\sqrt{x}\text{d}x}=\dfrac{2}{3}b\sqrt{b}$ mà ${{S}_{1}}=\dfrac{5}{3}{{S}_{2}}$ $\Rightarrow {{S}_{2}}=\dfrac{1}{4}b\sqrt{b}=\dfrac{1}{2}\sqrt{b}\left( b-a \right)\Leftrightarrow b=2a$
Thay vào phương trình ta có được ${{a}^{2}}-2a=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
a=0 & \left( l \right) \\
a=2 & \left( n \right) \\
\end{matrix} \right.$.
Vậy $a=2$ là giá trị cần tìm.
{{x}^{2}}-\left( 2a+1 \right)x+{{a}^{2}}=0 \\
x\ge 0 \\
\end{matrix} \right.$.
Từ hình vẽ ta thấy được phương trình có nghiệm duy nhất, đặt nghiệm duy nhất là $b$, khi đó:
${{S}_{1}}+{{S}_{2}}=\int\limits_{0}^{b}{\sqrt{x}\text{d}x}=\dfrac{2}{3}b\sqrt{b}$ mà ${{S}_{1}}=\dfrac{5}{3}{{S}_{2}}$ $\Rightarrow {{S}_{2}}=\dfrac{1}{4}b\sqrt{b}=\dfrac{1}{2}\sqrt{b}\left( b-a \right)\Leftrightarrow b=2a$
Thay vào phương trình ta có được ${{a}^{2}}-2a=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
a=0 & \left( l \right) \\
a=2 & \left( n \right) \\
\end{matrix} \right.$.
Vậy $a=2$ là giá trị cần tìm.
Đáp án C.