Google
Câu hỏi: Cho đường thẳng $y=\dfrac{3}{4}x$ và parabol $y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+a$ (a là tham số thực dương). Gọi ${{S}_{1}}, {{S}_{2}}$ lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ. Khi ${{S}_{1}}={{S}_{2}}$ thì a thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( \dfrac{1}{4}; \dfrac{9}{32} \right)$
B. $\left( \dfrac{3}{16}; \dfrac{7}{32} \right)$
C. $\left( 0; \dfrac{3}{16} \right)$
D. $\left( \dfrac{7}{32}; \dfrac{1}{4} \right)$
A. $\left( \dfrac{1}{4}; \dfrac{9}{32} \right)$
B. $\left( \dfrac{3}{16}; \dfrac{7}{32} \right)$
C. $\left( 0; \dfrac{3}{16} \right)$
D. $\left( \dfrac{7}{32}; \dfrac{1}{4} \right)$
Đặt Gọi ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$ lần lượt là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm $\dfrac{3}{4}x=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+a$ và ta giả sử $0<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$, do ${{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình nên $a=\dfrac{3}{4}{{x}_{2}}-\dfrac{1}{2}x_{2}^{2}$
Do ${{S}_{1}}={{S}_{2}}$ suy ra $\int\limits_{0}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+a-\dfrac{3}{4}x \right)dx}=0\Leftrightarrow \dfrac{x_{2}^{3}}{6}+a{{x}_{2}}-\dfrac{3x_{2}^{2}}{8}=0\Leftrightarrow -\dfrac{x_{2}^{2}}{6}+\dfrac{3{{x}_{2}}}{8}=a=\dfrac{3}{4}{{x}_{2}}-\dfrac{1}{2}x_{2}^{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}x_{2}^{2}=\dfrac{3}{8}{{x}_{2}}\Rightarrow {{x}_{2}}=\dfrac{9}{8}\Rightarrow a=\dfrac{27}{128}$.
Do ${{S}_{1}}={{S}_{2}}$ suy ra $\int\limits_{0}^{{{x}_{2}}}{\left( \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+a-\dfrac{3}{4}x \right)dx}=0\Leftrightarrow \dfrac{x_{2}^{3}}{6}+a{{x}_{2}}-\dfrac{3x_{2}^{2}}{8}=0\Leftrightarrow -\dfrac{x_{2}^{2}}{6}+\dfrac{3{{x}_{2}}}{8}=a=\dfrac{3}{4}{{x}_{2}}-\dfrac{1}{2}x_{2}^{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}x_{2}^{2}=\dfrac{3}{8}{{x}_{2}}\Rightarrow {{x}_{2}}=\dfrac{9}{8}\Rightarrow a=\dfrac{27}{128}$.
Đáp án B.