Google
Câu hỏi: Cho đường thẳng $y=\dfrac{3}{2}x$ và parabol $y={{x}^{2}}+a$ (a là tham số thực dương). Gọi ${{S}_{1}},{{S}_{2}}$ lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ. Khi ${{S}_{1}}={{S}_{2}}$ thì a thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{9}{16} \right)$
B. $\left( \dfrac{2}{5};\dfrac{9}{20} \right)$
C. $\left( \dfrac{9}{20};\dfrac{1}{2} \right)$
D. $\left( 0;\dfrac{2}{5} \right)$
A. $\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{9}{16} \right)$
B. $\left( \dfrac{2}{5};\dfrac{9}{20} \right)$
C. $\left( \dfrac{9}{20};\dfrac{1}{2} \right)$
D. $\left( 0;\dfrac{2}{5} \right)$
Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ lần lượt là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm $\dfrac{3}{2}x={{x}^{2}}+a$ và ta giả sử $0<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$, do ${{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình nên $a=\dfrac{3}{2}{{x}_{2}}-x_{2}^{2}$
Do ${{S}_{1}}={{S}_{2}}$ suy ra $\int\limits_{0}^{{{x}_{2}}}{\left( {{x}^{2}}+a-\dfrac{3}{2}x \right)dx=0\Leftrightarrow \dfrac{x_{2}^{3}}{3}+a{{x}_{2}}-\dfrac{3x_{2}^{2}}{4}=0\Leftrightarrow -\dfrac{x_{2}^{2}}{3}+\dfrac{3{{x}_{2}}}{4}=a=\dfrac{3}{2}{{x}_{2}}-x_{2}^{2}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{2}{3}x_{2}^{2}=\dfrac{3}{4}{{x}_{2}}\Rightarrow {{x}_{2}}=\dfrac{9}{8}\Rightarrow a=\dfrac{27}{64}$.
Do ${{S}_{1}}={{S}_{2}}$ suy ra $\int\limits_{0}^{{{x}_{2}}}{\left( {{x}^{2}}+a-\dfrac{3}{2}x \right)dx=0\Leftrightarrow \dfrac{x_{2}^{3}}{3}+a{{x}_{2}}-\dfrac{3x_{2}^{2}}{4}=0\Leftrightarrow -\dfrac{x_{2}^{2}}{3}+\dfrac{3{{x}_{2}}}{4}=a=\dfrac{3}{2}{{x}_{2}}-x_{2}^{2}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{2}{3}x_{2}^{2}=\dfrac{3}{4}{{x}_{2}}\Rightarrow {{x}_{2}}=\dfrac{9}{8}\Rightarrow a=\dfrac{27}{64}$.
Đáp án B.