Cho đường thẳng $y=2x$ và parabol $y={{x}^{2}}+c$ ( $c$ là tham số thực dương). Gọi ${{S}_{1}}$ và ${{S}_{2}}$ lần lượt là diện tích của hai hình...

Phương pháp:
- Giả sử nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm là ${{x}^{2}}+c=2x\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=a>0 \\
& x=b>0 \\
\end{aligned} \right..$
- Sử dụng: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right),y=g\left( x \right),$ đường thẳng $x=a,x=b$ là $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|dx}$ để tính ${{S}_{1}},{{S}_{2}}.$
- Giải phương trình ${{S}_{1}}={{S}_{2}}$ và thế $c=2b-{{b}^{2}}$, giải phương trình tìm $b$ sau đó tìm $c.$
Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm ${{x}^{2}}+c=2x\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=a>0 \\
& x=b>0 \\
\end{aligned} \right..$
Ta có
${{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{a}{\left( {{x}^{2}}+c-2x \right)dx}=\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}+cx-{{x}^{2}} \right)\left| \begin{aligned}
& a \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}+ca-{{a}^{2}}.$
${{S}_{2}}=\int\limits_{a}^{b}{\left( 2x-{{x}^{2}}-c \right)dx}=\left( {{x}^{2}}-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-cx \right)\left| \begin{aligned}
& b \\
& a \\
\end{aligned} \right.={{b}^{2}}-\dfrac{{{b}^{3}}}{3}-cb-{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{3}}}{3}+ca$
Vì ${{S}_{1}}={{S}_{2}}$ nên ta có:
$\dfrac{{{a}^{3}}}{3}+ca-{{a}^{2}}={{b}^{2}}-\dfrac{{{b}^{3}}}{3}-cb-{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{3}}}{3}+ca$
$\Leftrightarrow {{b}^{2}}-\dfrac{{{b}^{3}}}{3}-cb=0$
$\Leftrightarrow b-\dfrac{{{b}^{2}}}{3}-c=0$ (do $b>0$ )
Vì $b$ là nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}+c=2x\Rightarrow {{b}^{2}}+c=2b\Rightarrow c=2b-{{b}^{2}}.$
$\Rightarrow b-\dfrac{{{b}^{2}}}{3}-2b+{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=\dfrac{3}{2}\left( tm \right) \\
& b=0\left( ktm \right) \\
\end{aligned} \right..$
Vậy $c=2b-{{b}^{2}}=\dfrac{3}{4}$ gần với 1 nhất.