T

Cho đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z-2}{2}$...

Câu hỏi: Cho đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z-2}{2}$. Viết phương trình mặt cầu tâm I (1; 2; -1) cắt d tại các điểm A, B sao cho $AB=2\sqrt{3}$
A. (x – 1)2​ + (y – 2)2​ + (z + 1)2​ = 25
B. (x – 1)2​ + (y – 2)2​ + (z + 1)2​ = 4
C. (x – 1)2​ + (y – 2)2​ + (z + 1)2​ = 9
D. (x – 1)2​ + (y – 2)2​ + (z + 1)2​ = 16
Phương pháp:
+ Sử dụng khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d đi qua M và có VTCP $\overrightarrow{u}$ là $d=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{IM};\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}$
+ Sử dụng định lý Pytago để tính bán kính mặt cầu
+ Mặt cầu tâm I (a; b; c) và bán kính R có phương trình (x - a)2​ + (y - b)2​ + (z - c)2​ = R
Cách giải: 
1667380994942.png

Đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z-2}{2}$ đi qua M (-1; 2; 2) có VTCP $\overrightarrow{u}=\left( 3;-2;2 \right)$
Suy ra $\overrightarrow{IM}=\left( -2;0;3 \right); \left[ \overrightarrow{IM};\overrightarrow{u} \right]=\left( 6;13;4 \right)$
Khoảng cách h từ tâm I đến đường thẳng d là
$h=d\left( I;(d) \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{IM};\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=\dfrac{\sqrt{{{6}^{2}}+{{13}^{2}}+{{4}^{2}}}}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\sqrt{13}$
Gọi K là trung điểm dây AB $\Rightarrow IK\bot AB; KB=\dfrac{AB}{2}=\sqrt{3}; IK=h=\sqrt{13}$
Xét tam giác IKB vuông tại K $IB=\sqrt{K{{B}^{2}}+I{{K}^{2}}}=\sqrt{13+3}=4$
Phương trình mặt cầu tâm I (1; 2; -1) và bán kính R = IB = 4 là (x - 1)2​ + (y - 2)2​ + (z + 1)2​ = 16
Đáp án D.
 

Quảng cáo

Back
Top