Google
Câu hỏi: Cho đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z-2}{2}$. Viết phương trình mặt cầu tâm $I\left( 1;2;-1 \right)$ cắt d tại các điểm A, B sao cho $AB=2\sqrt{3}$.
A. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=25.$
B. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=4.$
C. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9.$
D. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=16.$
Đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z-2}{2}$ đi qua $M\left( -1;2;2 \right)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 3;-2;2 \right)$.
Suy ra $\overrightarrow{IM}=\left( -2;0;3 \right);\left[ \overrightarrow{IM};\overrightarrow{u} \right]=\left( 6;13;4 \right)$.
Khoảng cách h từ tâm I đến đường thẳng d là:
$h=d\left( I;\left( d \right) \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{IM};\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=\dfrac{\sqrt{{{6}^{2}}+{{13}^{2}}+{{4}^{2}}}}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\sqrt{13}$.
Gọi K là trung điểm dây $AB\Rightarrow IK\bot AB;KB=\dfrac{AB}{2}=\sqrt{3};IK=h=\sqrt{13}$.
Xét tam giác IKB vuông tại K có $IB=\sqrt{K{{B}^{2}}+I{{K}^{2}}}=\sqrt{13+3}=4$.
Phương trình mặt cầu tâm $I\left( 1;2;-1 \right)$ và bán kính $R=IB=4$ là ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=16$.
Lưu ý:
Sử dụng khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d đi qua M và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ là $d=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{IM};\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}$.
Mặt cầu tâm $I\left( a;b;c \right)$ và bán kính R có phương trình ${{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{R}^{2}}$.
A. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=25.$
B. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=4.$
C. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9.$
D. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=16.$
Đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z-2}{2}$ đi qua $M\left( -1;2;2 \right)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 3;-2;2 \right)$.
Suy ra $\overrightarrow{IM}=\left( -2;0;3 \right);\left[ \overrightarrow{IM};\overrightarrow{u} \right]=\left( 6;13;4 \right)$.
Khoảng cách h từ tâm I đến đường thẳng d là:
$h=d\left( I;\left( d \right) \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{IM};\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=\dfrac{\sqrt{{{6}^{2}}+{{13}^{2}}+{{4}^{2}}}}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\sqrt{13}$.
Gọi K là trung điểm dây $AB\Rightarrow IK\bot AB;KB=\dfrac{AB}{2}=\sqrt{3};IK=h=\sqrt{13}$.
Xét tam giác IKB vuông tại K có $IB=\sqrt{K{{B}^{2}}+I{{K}^{2}}}=\sqrt{13+3}=4$.
Phương trình mặt cầu tâm $I\left( 1;2;-1 \right)$ và bán kính $R=IB=4$ là ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=16$.
Lưu ý:
Sử dụng khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d đi qua M và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ là $d=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{IM};\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}$.
Mặt cầu tâm $I\left( a;b;c \right)$ và bán kính R có phương trình ${{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{R}^{2}}$.
Đáp án D.