Google
Câu hỏi: Cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z-2}{1}$ và điểm A (1; 2; 1). Tìm bán kính của mặt cầu có tâm I nằm trên d, đi qua A và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x - 2y + 2z + 1 = 0
A. R = 2
B. R = 4
C. R = 1
D. R = 3
A. R = 2
B. R = 4
C. R = 1
D. R = 3
Phương pháp:
+ Từ đề bài suy ra IA = d (I; (P))
+ Sử dụng công thức khoảng cách từ I (x0; y0; z0) đến mặt phẳng (P) : ax + by + cz + d = 0 là
$d\left( I;(P) \right)=\dfrac{\left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c{{z}_{0}}+d \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$
Cách giải:
Đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z-2}{1}\Rightarrow d:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2-2t \\
& z=2+t \\
\end{aligned} \right.$
Vì $I\in d\Rightarrow I\left( 1+t;2-2t;2+t \right)$
Lại có mặt cầu đi qua A (1; 2; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) : x - 2y + 2z +1 = 0 nên bán kính mặt cầu R = IA = d (I; (P ))
Lại có $IA=\sqrt{{{t}^{2}}+4{{t}^{2}}+{{\left( -t-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{16{{t}^{2}}+2t+1}; d\left( I;(P) \right)=\dfrac{\left| 1+t-2(2-2t)+2(2+t)+1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-2)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{\left| 7t+2 \right|}{3}$
Từ đó ta có $IA=d\left( I;(P) \right)\Leftrightarrow \sqrt{6{{t}^{2}}+2t+1}\dfrac{\left| 7t+2 \right|}{3}$
$\Leftrightarrow 9\left( 6{{t}^{2}}+2t+1 \right)={{\left( 7t+2 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 5{{t}^{2}}=10t+5=0\Leftrightarrow 5{{\left( t-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow t=1$
Suy ra $R=d\left( I;(P) \right)=\dfrac{\left| 7.1+2 \right|}{3}=3$
+ Từ đề bài suy ra IA = d (I; (P))
+ Sử dụng công thức khoảng cách từ I (x0; y0; z0) đến mặt phẳng (P) : ax + by + cz + d = 0 là
$d\left( I;(P) \right)=\dfrac{\left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c{{z}_{0}}+d \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$
Cách giải:
Đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z-2}{1}\Rightarrow d:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2-2t \\
& z=2+t \\
\end{aligned} \right.$
Vì $I\in d\Rightarrow I\left( 1+t;2-2t;2+t \right)$
Lại có mặt cầu đi qua A (1; 2; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) : x - 2y + 2z +1 = 0 nên bán kính mặt cầu R = IA = d (I; (P ))
Lại có $IA=\sqrt{{{t}^{2}}+4{{t}^{2}}+{{\left( -t-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{16{{t}^{2}}+2t+1}; d\left( I;(P) \right)=\dfrac{\left| 1+t-2(2-2t)+2(2+t)+1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-2)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{\left| 7t+2 \right|}{3}$
Từ đó ta có $IA=d\left( I;(P) \right)\Leftrightarrow \sqrt{6{{t}^{2}}+2t+1}\dfrac{\left| 7t+2 \right|}{3}$
$\Leftrightarrow 9\left( 6{{t}^{2}}+2t+1 \right)={{\left( 7t+2 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 5{{t}^{2}}=10t+5=0\Leftrightarrow 5{{\left( t-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow t=1$
Suy ra $R=d\left( I;(P) \right)=\dfrac{\left| 7.1+2 \right|}{3}=3$
Đáp án D.