Google
Câu hỏi: Cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z-2}{1}$ và điểm $A\left( 1;2;1 \right)$. Tìm bán kính của mặt cầu có tâm I nằm trên d, đi qua A và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+2z+1=0$.
A. $R=2.$
B. $R=4.$
C. $R=1.$
D. $R=3.$
A. $R=2.$
B. $R=4.$
C. $R=1.$
D. $R=3.$
Đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z-2}{1}\Rightarrow d:\left\{ \begin{aligned}
& z=1+t \\
& y=2-2t \\
& z=2+t \\
\end{aligned} \right..$
Vì $I\in d\Rightarrow I\left( 1+t;2-2t;2+t \right)$.
Lại có mặt cầu đi qua $A\left( 1;2;1 \right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+2z+1=0$ nên bán kính mặt cầu $R=IA=d\left( I;\left( P \right) \right)$.
Lại có $IA=\sqrt{{{t}^{2}}+4{{t}^{2}}+{{\left( -t-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{16{{t}^{2}}+2t+1};d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 1+t-2\left( 2-2t \right)+2\left( 2+t \right)+1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{\left| 7t+2 \right|}{3}$.
Từ đó ta có $IA=d\left( I;\left( P \right) \right)\Leftrightarrow \sqrt{6{{t}^{2}}+2t+1}=\dfrac{\left| 7t+2 \right|}{3}$
$\Leftrightarrow 9\left( 6{{t}^{2}}+2t+1 \right)={{\left( 7t+2 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 5{{t}^{2}}=10t+5\Leftrightarrow 5{{\left( t-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow t=1$
Suy ra $R=d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 7.1+2 \right|}{3}=3$.
Lưu ý:
Khoảng cách từ $I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz+d=0$ là $d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c{{z}_{0}}+d \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$.
& z=1+t \\
& y=2-2t \\
& z=2+t \\
\end{aligned} \right..$
Vì $I\in d\Rightarrow I\left( 1+t;2-2t;2+t \right)$.
Lại có mặt cầu đi qua $A\left( 1;2;1 \right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+2z+1=0$ nên bán kính mặt cầu $R=IA=d\left( I;\left( P \right) \right)$.
Lại có $IA=\sqrt{{{t}^{2}}+4{{t}^{2}}+{{\left( -t-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{16{{t}^{2}}+2t+1};d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 1+t-2\left( 2-2t \right)+2\left( 2+t \right)+1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{\left| 7t+2 \right|}{3}$.
Từ đó ta có $IA=d\left( I;\left( P \right) \right)\Leftrightarrow \sqrt{6{{t}^{2}}+2t+1}=\dfrac{\left| 7t+2 \right|}{3}$
$\Leftrightarrow 9\left( 6{{t}^{2}}+2t+1 \right)={{\left( 7t+2 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 5{{t}^{2}}=10t+5\Leftrightarrow 5{{\left( t-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow t=1$
Suy ra $R=d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 7.1+2 \right|}{3}=3$.
Lưu ý:
Khoảng cách từ $I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz+d=0$ là $d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c{{z}_{0}}+d \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$.
Đáp án D.