Cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 2}{1}$ ...

The Professor · 17/12/21

Câu hỏi: Cho đường thẳng

d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 2}{1}

và điểm

A (1; 2; 1)

. Tìm bán kính của mặt cầu có tâm I nằm trên d, đi qua A và tiếp xúc với mặt phẳng

(P) : x - 2 y + 2 z + 1 = 0

.
A.

R = 2.

B.

R = 4.

C.

R = 1.

D.

R = 3.

Đường thẳng

d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 2}{1} \Rightarrow d : {\begin{aligned} z = 1 + t \\ y = 2 - 2 t \\ z = 2 + t \end{aligned} .

Vì

I \in d \Rightarrow I (1 + t; 2 - 2 t; 2 + t)

.
Lại có mặt cầu đi qua

A (1; 2; 1)

và tiếp xúc với mặt phẳng

(P) : x - 2 y + 2 z + 1 = 0

nên bán kính mặt cầu

R = I A = d (I; (P))

.
Lại có

I A = \sqrt{t^{2} + 4 t^{2} + {(- t - 1)}^{2}} = \sqrt{16 t^{2} + 2 t + 1}; d (I; (P)) = \frac{| 1 + t - 2 (2 - 2 t) + 2 (2 + t) + 1 |}{\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + 2^{2}}} = \frac{| 7 t + 2 |}{3}

.
Từ đó ta có

I A = d (I; (P)) \Leftrightarrow \sqrt{6 t^{2} + 2 t + 1} = \frac{| 7 t + 2 |}{3}

\Leftrightarrow 9 (6 t^{2} + 2 t + 1) = {(7 t + 2)}^{2} \Leftrightarrow 5 t^{2} = 10 t + 5 \Leftrightarrow 5 {(t - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow t = 1

Suy ra

R = d (I; (P)) = \frac{| 7.1 + 2 |}{3} = 3

.
Lưu ý:
Khoảng cách từ

I (x_{0}; y_{0}; z_{0})

đến mặt phẳng

(P) : a x + b y + c z + d = 0

là

d (I; (P)) = \frac{| a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}

.

Đáp án D.

Cho đường thẳng d:x−11=y−2−2=z−21...