Google
Câu hỏi: Cho đường cong $\left( C \right):y={{x}^{3}}$. Xét điểm $A$ có hoành độ dương thuộc $\left( C \right)$, tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ tạo với $(C)$ một hình phẳng có diện tích bằng $27$. Hoành độ điểm $A$ thuộc khoảng nào dưới đây ?
A. $\left( 0; \dfrac{1}{2} \right)$.
B. $\left( \dfrac{1}{2}; 1 \right)$.
C. $\left( 1; \dfrac{3}{2} \right)$.
D. $\left( \dfrac{3}{2}; 2 \right)$.
A. $\left( 0; \dfrac{1}{2} \right)$.
B. $\left( \dfrac{1}{2}; 1 \right)$.
C. $\left( 1; \dfrac{3}{2} \right)$.
D. $\left( \dfrac{3}{2}; 2 \right)$.
Xét $A\left( {{x}_{0}}; x_{0}^{3} \right)\in \left( C \right)$, ${{x}_{0}}>0$.
Phương trình tiếp tuyến tại $A$ có dạng: $y-x_{0}^{3}={f}'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)\Leftrightarrow y=3x_{0}^{2}x-2x_{0}^{3}$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến và đồ thị $\left( C \right)$ :
${{x}^{3}}=3x_{0}^{2}x-2x_{0}^{3}\Leftrightarrow {{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}\left( x+2{{x}_{0}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{0}} \\
& x=-2{{x}_{0}} \\
\end{aligned} \right.$.
Tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ tạo với $(C)$ một hình phẳng có diện tích bằng $27$ nên :
$\int\limits_{-2{{x}_{0}}}^{{{x}_{0}}}{\left| {{x}^{3}}-3x_{0}^{2}x+2x_{0}^{3} \right|dx}=27\Leftrightarrow \int\limits_{-2{{x}_{0}}}^{{{x}_{0}}}{\left( {{x}^{3}}-3x_{0}^{2}x+2x_{0}^{3} \right)dx=27}\Leftrightarrow x_{0}^{4}=4\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\sqrt{2}\in \left( 1; \dfrac{3}{2} \right)$
(Vì ${{x}^{3}}-3x_{0}^{2}x+2x_{0}^{3}={{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}\left( x+2{{x}_{0}} \right)\ge 0,\forall x\in \left[ -2{{x}_{0}};{{x}_{0}} \right]$ ).
Phương trình tiếp tuyến tại $A$ có dạng: $y-x_{0}^{3}={f}'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)\Leftrightarrow y=3x_{0}^{2}x-2x_{0}^{3}$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến và đồ thị $\left( C \right)$ :
${{x}^{3}}=3x_{0}^{2}x-2x_{0}^{3}\Leftrightarrow {{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}\left( x+2{{x}_{0}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{0}} \\
& x=-2{{x}_{0}} \\
\end{aligned} \right.$.
Tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ tạo với $(C)$ một hình phẳng có diện tích bằng $27$ nên :
$\int\limits_{-2{{x}_{0}}}^{{{x}_{0}}}{\left| {{x}^{3}}-3x_{0}^{2}x+2x_{0}^{3} \right|dx}=27\Leftrightarrow \int\limits_{-2{{x}_{0}}}^{{{x}_{0}}}{\left( {{x}^{3}}-3x_{0}^{2}x+2x_{0}^{3} \right)dx=27}\Leftrightarrow x_{0}^{4}=4\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\sqrt{2}\in \left( 1; \dfrac{3}{2} \right)$
(Vì ${{x}^{3}}-3x_{0}^{2}x+2x_{0}^{3}={{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}\left( x+2{{x}_{0}} \right)\ge 0,\forall x\in \left[ -2{{x}_{0}};{{x}_{0}} \right]$ ).
Đáp án C.