Cho đường cong $(C) : y = x^{3}$ . Xét điểm $A$ có...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Cho đường cong

(C) : y = x^{3}

. Xét điểm

A

có hoành độ dương thuộc

(C)

, tiếp tuyến của

(C)

tại

A

tạo với

(C)

một hình phẳng có diện tích bằng

27

. Hoành độ điểm

A

thuộc khoảng nào dưới đây ?
A.

(0; \frac{1}{2})

.
B.

(\frac{1}{2}; 1)

.
C.

(1; \frac{3}{2})

.
D.

(\frac{3}{2}; 2)

.

Xét

A (x_{0}; x_{0}^{3}) \in (C)

,

x_{0} > 0

.
Phương trình tiếp tuyến tại

A

có dạng:

y - x_{0}^{3} = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) \Leftrightarrow y = 3 x_{0}^{2} x - 2 x_{0}^{3}

.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến và đồ thị

(C)

:

x^{3} = 3 x_{0}^{2} x - 2 x_{0}^{3} \Leftrightarrow {(x - x_{0})}^{2} (x + 2 x_{0}) = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = x_{0} \\ x = - 2 x_{0} \end{aligned}

.
Tiếp tuyến của

(C)

tại

A

tạo với

(C)

một hình phẳng có diện tích bằng

27

nên :

\int_{- 2 x_{0}}^{x_{0}} | x^{3} - 3 x_{0}^{2} x + 2 x_{0}^{3} | d x = 27 \Leftrightarrow \int_{- 2 x_{0}}^{x_{0}} (x^{3} - 3 x_{0}^{2} x + 2 x_{0}^{3}) d x = 27 \Leftrightarrow x_{0}^{4} = 4 \Leftrightarrow x_{0} = \sqrt{2} \in (1; \frac{3}{2})

(Vì

x^{3} - 3 x_{0}^{2} x + 2 x_{0}^{3} = {(x - x_{0})}^{2} (x + 2 x_{0}) \geq 0, \forall x \in [- 2 x_{0}; x_{0}]

).

Đáp án C.

Cho đường cong (C):y=x3. Xét điểm A có...