Google
Câu hỏi: Cho đường cong $\left( C \right)$ : $y=8x-27{{x}^{3}}$ và đường thẳng $y=m$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy và chia thành 2 miền phẳng (gạch sọc và kẻ caro) có diện tích bằng nhau (tham khảo hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $0<m<\dfrac{1}{2}$.
B. $\dfrac{1}{2}<m<1$.
C. $1<m<\dfrac{3}{2}$.
D. $\dfrac{3}{2}<m<2$.
A. $0<m<\dfrac{1}{2}$.
B. $\dfrac{1}{2}<m<1$.
C. $1<m<\dfrac{3}{2}$.
D. $\dfrac{3}{2}<m<2$.
Phương trình hoành độ giao điểm $8x-27{{x}^{3}}=m$.
Giả sử đường thẳng $y=m$ cắt đường cong $\left( C \right)$ trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục, tọa độ tại các điểm có hoành độ $0<a<b$, ta có $\left\{ \begin{aligned}
& 8a-27{{a}^{3}}=m \\
& 8b-27{{b}^{3}}=m \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( 1 \right) $ và gọi $ F\left( x \right) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f\left( x \right)=8x-27{{x}^{3}}-m$.
Ta có $F\left( x \right)=4{{x}^{2}}-\dfrac{27{{x}^{4}}}{4}-mx+C$ và quan sát hình vẽ có các diện tích hình phẳng kẻ caro và gạch sọc lần lượt là
${{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{a}{\left| f\left( x \right) \right|dx}=-\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}=F\left( 0 \right)-F\left( a \right)$
${{S}_{2}}=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=F\left( b \right)-F\left( a \right)$
Vì ${{S}_{1}}={{S}_{2}}\Leftrightarrow F\left( 0 \right)-F\left( a \right)=F\left( b \right)-F\left( a \right)\Leftrightarrow F\left( b \right)=F\left( 0 \right)\Leftrightarrow 4{{b}^{2}}-\dfrac{27{{b}^{4}}}{4}-mb=0$ $\left( 2 \right)$
Rút $m=8b-27{{b}^{3}}$ từ $\left( 1 \right)$ thay vào $\left( 2 \right)$, ta có $4{{b}^{2}}-\dfrac{27{{b}^{4}}}{4}-\left( 8b-27{{b}^{3}} \right)b=0\Leftrightarrow 81{{b}^{4}}-16{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow b=\dfrac{4}{9}$ (vì $b>0$ )
Thay ngược lại $\left( 1 \right)$, ta được $m=\dfrac{32}{27}\approx 1,185$.
Giả sử đường thẳng $y=m$ cắt đường cong $\left( C \right)$ trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục, tọa độ tại các điểm có hoành độ $0<a<b$, ta có $\left\{ \begin{aligned}
& 8a-27{{a}^{3}}=m \\
& 8b-27{{b}^{3}}=m \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( 1 \right) $ và gọi $ F\left( x \right) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f\left( x \right)=8x-27{{x}^{3}}-m$.
Ta có $F\left( x \right)=4{{x}^{2}}-\dfrac{27{{x}^{4}}}{4}-mx+C$ và quan sát hình vẽ có các diện tích hình phẳng kẻ caro và gạch sọc lần lượt là
${{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{a}{\left| f\left( x \right) \right|dx}=-\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx}=F\left( 0 \right)-F\left( a \right)$
${{S}_{2}}=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=F\left( b \right)-F\left( a \right)$
Vì ${{S}_{1}}={{S}_{2}}\Leftrightarrow F\left( 0 \right)-F\left( a \right)=F\left( b \right)-F\left( a \right)\Leftrightarrow F\left( b \right)=F\left( 0 \right)\Leftrightarrow 4{{b}^{2}}-\dfrac{27{{b}^{4}}}{4}-mb=0$ $\left( 2 \right)$
Rút $m=8b-27{{b}^{3}}$ từ $\left( 1 \right)$ thay vào $\left( 2 \right)$, ta có $4{{b}^{2}}-\dfrac{27{{b}^{4}}}{4}-\left( 8b-27{{b}^{3}} \right)b=0\Leftrightarrow 81{{b}^{4}}-16{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow b=\dfrac{4}{9}$ (vì $b>0$ )
Thay ngược lại $\left( 1 \right)$, ta được $m=\dfrac{32}{27}\approx 1,185$.
Đáp án C.