Cho đường cong $\left(C\right)$ : $y=8x-27x^3$ và đường...

Phương trình hoành độ giao điểm $8x-27x^3=m$.
Giả sử đường thẳng $y=m$ cắt đường cong $\left(C\right)$ trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục, tọa độ tại các điểm có hoành độ $0<a<b$, ta có $\{\begin{array}{rl}& 8a-27a^3=m\\ & 8b-27b^3=m\end{array}$ $\left(1\right)$ và gọi $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=8x-27x^3-m$.
Ta có $F\left(x\right)=4x^2-{\displaystyle \frac{27x^4}{4}}-mx+C$ và quan sát hình vẽ có các diện tích hình phẳng kẻ caro và gạch sọc lần lượt là
$S_1=\underset{0}{\overset{a}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx=-\underset{0}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(0\right)-F\left(a\right)$
$S_2=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$
Vì $S_1=S_2\iff F\left(0\right)-F\left(a\right)=F\left(b\right)-F\left(a\right)\iff F\left(b\right)=F\left(0\right)\iff 4b^2-{\displaystyle \frac{27b^4}{4}}-mb=0$ $\left(2\right)$
Rút $m=8b-27b^3$ từ $\left(1\right)$ thay vào $\left(2\right)$, ta có $4b^2-{\displaystyle \frac{27b^4}{4}}-(8b-27b^3)b=0\iff 81b^4-16b^2=0\iff b={\displaystyle \frac{4}{9}}$ (vì $b>0$ )
Thay ngược lại $\left(1\right)$, ta được $m={\displaystyle \frac{32}{27}}\approx 1,185$.