Google
Câu hỏi: Cho đường cong $\left( C \right):f\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ và đường thẳng $d:y=g\left( x \right)$ là tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ x = 1. Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( C \right)$ và d bằng $\dfrac{64}{3}.$ Giao điểm thứ hai của d và $\left( C \right)$ có hoành độ $m>0$, khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $m\in \left( 0;2 \right).$
B. $m\in \left( 2;4 \right).$
C. $m\in \left( 4;6 \right).$
D. $m\in \left( 6;+\infty \right).$
A. $m\in \left( 0;2 \right).$
B. $m\in \left( 2;4 \right).$
C. $m\in \left( 4;6 \right).$
D. $m\in \left( 6;+\infty \right).$
Đường cong (C) cắt đường thẳng d tại 2 điểm có hoành độ $x=1;x=m>0$ trong đó tại điểm có hoành độ $x=1$ là điểm tiếp xúc của hai đường.
Vì vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường là
$\begin{aligned}
& S=\int\limits_{1}^{m}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|dx}=\int\limits_{1}^{m}{\left| {{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x-m \right) \right|dx}=-\int\limits_{1}^{m}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x-m \right)dx} \\
& =-\int\limits_{1}^{m}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( \left( x-1 \right)-\left( m-1 \right) \right)dx}=-\int\limits_{1}^{m}{\left( {{\left( x-1 \right)}^{3}}-\left( m-1 \right){{\left( x-1 \right)}^{2}} \right)dx} \\
& =\left. -\left( \dfrac{1}{4}{{\left( x-1 \right)}^{4}}-\left( m-1 \right)\dfrac{1}{3}{{\left( x-1 \right)}^{3}} \right) \right|_{1}^{m}=\dfrac{1}{12}{{\left( m-1 \right)}^{4}}=\dfrac{64}{3}\Leftrightarrow m=5 \\
\end{aligned}$
Vì vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường là
$\begin{aligned}
& S=\int\limits_{1}^{m}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|dx}=\int\limits_{1}^{m}{\left| {{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x-m \right) \right|dx}=-\int\limits_{1}^{m}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x-m \right)dx} \\
& =-\int\limits_{1}^{m}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( \left( x-1 \right)-\left( m-1 \right) \right)dx}=-\int\limits_{1}^{m}{\left( {{\left( x-1 \right)}^{3}}-\left( m-1 \right){{\left( x-1 \right)}^{2}} \right)dx} \\
& =\left. -\left( \dfrac{1}{4}{{\left( x-1 \right)}^{4}}-\left( m-1 \right)\dfrac{1}{3}{{\left( x-1 \right)}^{3}} \right) \right|_{1}^{m}=\dfrac{1}{12}{{\left( m-1 \right)}^{4}}=\dfrac{64}{3}\Leftrightarrow m=5 \\
\end{aligned}$
Đáp án C.