Google
Câu hỏi: Cho đường cong $\left( {{C}_{m}} \right):y={{x}^{3}}-3\left( m-1 \right){{x}^{2}}-3\left( m+1 \right)x+3.$ Gọi $S$ là tập các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $A,B$ sao cho $O,A,B$ thẳng hàng. Tổng các phần tử của $S$ bằng
A. $3.$
B. $0.$
C. $2.$
D. $1.$
A. $3.$
B. $0.$
C. $2.$
D. $1.$
$\begin{aligned}
& y={{x}^{3}}-3\left( m-1 \right){{x}^{2}}-3\left( m+1 \right)x+3. \\
& \Rightarrow y'=3{{x}^{2}}-6\left( m-1 \right)x-3\left( m+1 \right) \\
\end{aligned}$
Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $A,B$ thì $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt
$\begin{aligned}
& {{\Delta }_{y'}}>0\Leftrightarrow 36{{\left( m-1 \right)}^{2}}-4.3.\left( -3m-3 \right)>0\Leftrightarrow 36{{m}^{2}}-36m+72>0\Leftrightarrow 9\left( 4{{m}^{2}}-4m+1 \right)+63>0 \\
& \Leftrightarrow 9{{\left( 2m-1 \right)}^{2}}+63>0 \forall m\in \mathbb{R} \\
\end{aligned} $Gọi $ \left( d \right) $ là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $ A,B$.
Ta có:
$\left( d \right):y=\dfrac{2}{3}\left( c-\dfrac{{{b}^{2}}}{3a} \right)x+d-\dfrac{bc}{9a}=\dfrac{2}{3}\left( -3m-3-\dfrac{9{{\left( m-1 \right)}^{2}}}{3.1} \right)x+3-\dfrac{-3\left( m-1 \right).\left( -3m-3 \right)}{9.1}$
$\left( d \right):y=2\left( -{{m}^{2}}+m-2 \right)x+4-{{m}^{2}}$
Để $O,A,B$ thẳng hàng thì điểm $O$ thuộc $\left( d \right)$. Từ đó ta có
${{y}_{o}}=2\left( -{{m}^{2}}+m-2 \right){{x}_{o}}+4-{{m}^{2}}\Leftrightarrow 0=4-{{m}^{2}}\Rightarrow m=\pm 2$. Từ đó tập $S=\left\{ 2;-2 \right\}$. Tổng các phần tử $S$ là 0.
& y={{x}^{3}}-3\left( m-1 \right){{x}^{2}}-3\left( m+1 \right)x+3. \\
& \Rightarrow y'=3{{x}^{2}}-6\left( m-1 \right)x-3\left( m+1 \right) \\
\end{aligned}$
Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $A,B$ thì $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt
$\begin{aligned}
& {{\Delta }_{y'}}>0\Leftrightarrow 36{{\left( m-1 \right)}^{2}}-4.3.\left( -3m-3 \right)>0\Leftrightarrow 36{{m}^{2}}-36m+72>0\Leftrightarrow 9\left( 4{{m}^{2}}-4m+1 \right)+63>0 \\
& \Leftrightarrow 9{{\left( 2m-1 \right)}^{2}}+63>0 \forall m\in \mathbb{R} \\
\end{aligned} $Gọi $ \left( d \right) $ là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $ A,B$.
Ta có:
$\left( d \right):y=\dfrac{2}{3}\left( c-\dfrac{{{b}^{2}}}{3a} \right)x+d-\dfrac{bc}{9a}=\dfrac{2}{3}\left( -3m-3-\dfrac{9{{\left( m-1 \right)}^{2}}}{3.1} \right)x+3-\dfrac{-3\left( m-1 \right).\left( -3m-3 \right)}{9.1}$
$\left( d \right):y=2\left( -{{m}^{2}}+m-2 \right)x+4-{{m}^{2}}$
Để $O,A,B$ thẳng hàng thì điểm $O$ thuộc $\left( d \right)$. Từ đó ta có
${{y}_{o}}=2\left( -{{m}^{2}}+m-2 \right){{x}_{o}}+4-{{m}^{2}}\Leftrightarrow 0=4-{{m}^{2}}\Rightarrow m=\pm 2$. Từ đó tập $S=\left\{ 2;-2 \right\}$. Tổng các phần tử $S$ là 0.
Đáp án B.