Google
Câu hỏi: Cho đường cong $\left( {{C}_{m}} \right):y={{x}^{3}}-3\left( m-1 \right){{x}^{2}}-3\left( m+1 \right)x+3$. Gọi $S$ là tập các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $A,B$ sao cho $O,A,B$ thẳng hàng. Tổng các phần tử của $S$ bằng
A. $0$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $3$.
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-6\left( m-1 \right)x-3\left( m+1 \right)=3\left[ {{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-\left( m+1 \right) \right]$.
Đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow {y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-\left( m+1 \right)=0 \left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow {\Delta }'={{\left( m-1 \right)}^{2}}+m+1>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m+2>0\Leftrightarrow m\in \mathbb{R}$.
Ta có $y={y}'.\left[ \dfrac{1}{3}x-\dfrac{m-1}{3} \right]+\left[ -2{{m}^{2}}+2m-4 \right]x+4-{{m}^{2}}$.
Suy ra phương trình đường thẳng $d$ đi qua hai điểm cực trị là
$y=\left( -2{{m}^{2}}+2m-4 \right)x+4-{{m}^{2}}$.
Do $O,A,B$ thẳng hàng nên $4-{{m}^{2}}=0\Rightarrow \Rightarrow m=\pm 2$.
Suy ra $S=\left\{ 2;-2 \right\}$.
Vậy tổng các phần tử của $S$ là $0$.
A. $0$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $3$.
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-6\left( m-1 \right)x-3\left( m+1 \right)=3\left[ {{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-\left( m+1 \right) \right]$.
Đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow {y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-\left( m+1 \right)=0 \left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow {\Delta }'={{\left( m-1 \right)}^{2}}+m+1>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m+2>0\Leftrightarrow m\in \mathbb{R}$.
Ta có $y={y}'.\left[ \dfrac{1}{3}x-\dfrac{m-1}{3} \right]+\left[ -2{{m}^{2}}+2m-4 \right]x+4-{{m}^{2}}$.
Suy ra phương trình đường thẳng $d$ đi qua hai điểm cực trị là
$y=\left( -2{{m}^{2}}+2m-4 \right)x+4-{{m}^{2}}$.
Do $O,A,B$ thẳng hàng nên $4-{{m}^{2}}=0\Rightarrow \Rightarrow m=\pm 2$.
Suy ra $S=\left\{ 2;-2 \right\}$.
Vậy tổng các phần tử của $S$ là $0$.
Đáp án A.