Cho đường cong $(C):y=\dfrac{x-3}{x+1}$ và đường thẳng $d:y=x+3m.$...

Phương pháp:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt.
- Sử dụng hệ thức Vi-et.
- Sử dụng công thức trung điểm: Ilà trung điểm của ABthì ${{x}_{I}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2}.$
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
$\dfrac{x-3}{x+1}=x+3m(x\ne -1)$
$\Leftrightarrow x-3={{x}^{2}}+3mx+x+3m$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3mx+3m+3=0(*)$
Để (C)và dcắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow 9{{m}^{2}}-12m-12>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
m>2 \\
m<-\dfrac{2}{3} \\
\end{array} \right.$
Khi đó, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-3m$ (Định lí Vi-ét).
Trung điểm Icủa AB có hoành độ 3 nên: $\dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}=3\Leftrightarrow \dfrac{-3m}{2}=3\Leftrightarrow m=-2(\text{tm}).$