Google
Câu hỏi: Cho đoạn mạch xoay chiều mắc nối tiếp có tính cảm kháng bao gồm một cuộn dây có điện trở thuần $30\Omega $ và cảm kháng $120\Omega $ mắc nối tiếp với tụ điện và biến trở R. Khi gia trị của biến trở là R và 3,5R thì công suất trên mạch là bằng nhau và bằng $\dfrac{12}{13}$ công suất cực đại khi R thay đổi. Hãy tính giá trị dung kháng của tụ điện?
A. $210\Omega $
B. $120\Omega $
C. $30\Omega $
D. $90\Omega $
A. $210\Omega $
B. $120\Omega $
C. $30\Omega $
D. $90\Omega $
Ta có $P=\dfrac{{{U}^{2}}.{{R}_{m}}}{R_{m}^{2}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}$
$\Rightarrow R_{m}^{2}-\dfrac{{{U}^{2}}.{{R}_{m}}}{P}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}=0$
Có hai giá trị R cho cùng công suất nên ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{R}_{{{m}_{1}}}}+{{R}_{{{m}_{2}}}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{P} \\
& {{R}_{{{m}_{1}}}}.{{R}_{{{m}_{2}}}}={{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Khi công suất cực đại thì $\left\{ \begin{aligned}
& {{R}_{{{m}_{0}}}}=\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right| \\
& {{P}_{\max }}=\dfrac{{{U}^{2}}}{2{{R}_{{{m}_{0}}}}} \\
\end{aligned} \right.$
Vì $P=\dfrac{12}{13}{{P}_{\max }}\Rightarrow 2{{R}_{{{m}_{0}}}}=\dfrac{12}{13}\left( {{R}_{{{m}_{1}}}}+{{R}_{{{m}_{2}}}} \right)\Rightarrow {{R}_{{{m}_{1}}}}+{{R}_{{{m}_{2}}}}=\dfrac{13}{6}{{R}_{{{m}_{0}}}}$
Mà ${{R}_{{{m}_{1}}}}.{{R}_{{{m}_{2}}}}=R_{{{m}_{0}}}^{2}$ nên ${{R}_{{{m}_{1}}}}=\dfrac{2}{3}{{R}_{{{m}_{0}}}};{{R}_{{{m}_{2}}}}=\dfrac{3}{2}{{R}_{{{m}_{0}}}}\Rightarrow \dfrac{{{R}_{{{m}_{1}}}}}{{{R}_{{{m}_{2}}}}}=\dfrac{R+30}{3,5R+30}=\dfrac{4}{9}$
$\Rightarrow R=30;{{R}_{{{m}_{1}}}}=60;{{R}_{{{m}_{2}}}}=135$
$\Rightarrow {{R}_{{{m}_{0}}}}=\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|=\sqrt{60.135}=90$
$\Rightarrow {{Z}_{C}}=30\Omega ({{Z}_{L}}>{{Z}_{C}})$
$\Rightarrow R_{m}^{2}-\dfrac{{{U}^{2}}.{{R}_{m}}}{P}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}=0$
Có hai giá trị R cho cùng công suất nên ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{R}_{{{m}_{1}}}}+{{R}_{{{m}_{2}}}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{P} \\
& {{R}_{{{m}_{1}}}}.{{R}_{{{m}_{2}}}}={{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Khi công suất cực đại thì $\left\{ \begin{aligned}
& {{R}_{{{m}_{0}}}}=\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right| \\
& {{P}_{\max }}=\dfrac{{{U}^{2}}}{2{{R}_{{{m}_{0}}}}} \\
\end{aligned} \right.$
Vì $P=\dfrac{12}{13}{{P}_{\max }}\Rightarrow 2{{R}_{{{m}_{0}}}}=\dfrac{12}{13}\left( {{R}_{{{m}_{1}}}}+{{R}_{{{m}_{2}}}} \right)\Rightarrow {{R}_{{{m}_{1}}}}+{{R}_{{{m}_{2}}}}=\dfrac{13}{6}{{R}_{{{m}_{0}}}}$
Mà ${{R}_{{{m}_{1}}}}.{{R}_{{{m}_{2}}}}=R_{{{m}_{0}}}^{2}$ nên ${{R}_{{{m}_{1}}}}=\dfrac{2}{3}{{R}_{{{m}_{0}}}};{{R}_{{{m}_{2}}}}=\dfrac{3}{2}{{R}_{{{m}_{0}}}}\Rightarrow \dfrac{{{R}_{{{m}_{1}}}}}{{{R}_{{{m}_{2}}}}}=\dfrac{R+30}{3,5R+30}=\dfrac{4}{9}$
$\Rightarrow R=30;{{R}_{{{m}_{1}}}}=60;{{R}_{{{m}_{2}}}}=135$
$\Rightarrow {{R}_{{{m}_{0}}}}=\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|=\sqrt{60.135}=90$
$\Rightarrow {{Z}_{C}}=30\Omega ({{Z}_{L}}>{{Z}_{C}})$
Đáp án C.