Google
Câu hỏi: Cho đoạn mạch mắc nối tiếp gồm biến trở R, cuộn cảm thuần L và tụ điện C. Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng U và tần số f không đổi. Khi giá trị biến trở là R1 và R2, thì công suất tiêu thụ của đoạn mạch tương ứng là P1 và P2, độ lệch pha giữa điện áp và cường độ dòng điện trong đoạn mạch tương ứng là ${{\varphi }_{1}}$ và ${{\varphi }_{2}}$. Cho ${{\text{R}}_{1}}=2{{\text{R}}_{2}};{{\cos }^{2}}{{\varphi }_{1}}+{{\cos }^{2}}{{\varphi }_{2}}=\dfrac{7}{10}\cdot$ Tỉ số $\dfrac{{{P}_{1}}}{{{P}_{2}}}$ bằng
A. $\dfrac{5}{4}$
B. $\dfrac{3}{5}$
C. $\dfrac{4}{5}$
D. $\dfrac{5}{3}$
A. $\dfrac{5}{4}$
B. $\dfrac{3}{5}$
C. $\dfrac{4}{5}$
D. $\dfrac{5}{3}$
Phương pháp:
Công thức tính công suất $P=UI\cdot \cos \varphi $
Lời giải:
Công suất khi R = R1 là: ${{P}_{1}}=U.{{I}_{1}}\cdot \cos {{\varphi }_{1}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{\sqrt{R_{1}^{2}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}\cdot \cos {{\varphi }_{1}}$
Công suất khi R = R2 là: ${{P}_{2}}=U.{{I}_{2}}\cdot \cos {{\varphi }_{2}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{\sqrt{R_{2}^{2}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}\cdot \cos {{\varphi }_{2}}$
Từ đề bài ta có:
${{\cos }^{2}}{{\varphi }_{1}}+{{\cos }^{2}}{{\varphi }_{2}}=\dfrac{7}{10}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{1+{{\tan }^{2}}{{\varphi }_{1}}}+\dfrac{1}{1+{{\tan }^{2}}{{\varphi }_{2}}}=\dfrac{7}{10}\Leftrightarrow $ $\dfrac{1}{1+{{\left( \dfrac{{{Z}_{LC}}}{{{R}_{1}}} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{1+{{\left( \dfrac{{{Z}_{LC}}}{{{R}_{2}}} \right)}^{2}}}=\dfrac{7}{10}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{1+{{\left( \dfrac{{{Z}_{LC}}}{{{R}_{1}}} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{1+\left( \dfrac{{{Z}_{LC}}}{\dfrac{1}{2}{{R}_{1}}} \right)}=\dfrac{7}{10}$ $\dfrac{1}{1+{{\left( \dfrac{{{Z}_{LC}}}{{{R}_{1}}} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{1+4{{\left( \dfrac{{{Z}_{LC}}}{{{R}_{1}}} \right)}^{2}}}=\dfrac{7}{10}$
Đặt ${{\left( \dfrac{{{Z}_{LC}}}{{{R}_{1}}} \right)}^{2}}=x;(x>0)$ ta được :
$\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+4x}=\dfrac{7}{10}\Rightarrow \dfrac{5x+2}{4{{x}^{2}}+5x+1}=\dfrac{7}{10}\Rightarrow $ $10.(5x+2)=7.\left( 4{{x}^{2}}+5x+1 \right)$
$\Leftrightarrow 28{{x}^{2}}-15x-13=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{1}}=1(tm) \\
{{x}_{2}}=-\dfrac{13}{28}(\text{loai}) \\
\end{array} \right.$
Vậy:
$\dfrac{{{Z}_{\text{LC }}}}{{{R}_{1}}}=1\Leftrightarrow {{Z}_{LC}}={{R}_{1}}\Rightarrow \tan {{\varphi }_{1}}=1\Rightarrow {{\varphi }_{1}}-{{45}^{\text{0 }}}\Rightarrow \cos {{\varphi }_{1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$\tan {{\varphi }_{2}}=2\tan {{\varphi }_{1}}=2\Rightarrow \cos {{\varphi }_{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{1+\tan {{\varphi }_{2}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$
Tỉ số : $\dfrac{{{P}_{1}}}{{{P}_{2}}}=\dfrac{{{U}^{2}}\cdot \cos {{\varphi }_{1}}}{\sqrt{R_{1}^{2}+Z_{LC}^{2}}}\cdot \dfrac{\sqrt{R_{2}^{2}+Z_{LC}^{2}}}{{{U}^{2}}\cdot \cos {{\varphi }_{2}}}$ $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{R_{1}^{2}+R_{1}^{2}}}\cdot \dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{4}R_{1}^{2}+R_{1}^{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt{5}}}=\dfrac{5}{4}\Rightarrow \dfrac{{{P}_{2}}}{{{P}_{1}}}=\dfrac{4}{5}$
Công thức tính công suất $P=UI\cdot \cos \varphi $
Lời giải:
Công suất khi R = R1 là: ${{P}_{1}}=U.{{I}_{1}}\cdot \cos {{\varphi }_{1}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{\sqrt{R_{1}^{2}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}\cdot \cos {{\varphi }_{1}}$
Công suất khi R = R2 là: ${{P}_{2}}=U.{{I}_{2}}\cdot \cos {{\varphi }_{2}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{\sqrt{R_{2}^{2}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}\cdot \cos {{\varphi }_{2}}$
Từ đề bài ta có:
${{\cos }^{2}}{{\varphi }_{1}}+{{\cos }^{2}}{{\varphi }_{2}}=\dfrac{7}{10}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{1+{{\tan }^{2}}{{\varphi }_{1}}}+\dfrac{1}{1+{{\tan }^{2}}{{\varphi }_{2}}}=\dfrac{7}{10}\Leftrightarrow $ $\dfrac{1}{1+{{\left( \dfrac{{{Z}_{LC}}}{{{R}_{1}}} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{1+{{\left( \dfrac{{{Z}_{LC}}}{{{R}_{2}}} \right)}^{2}}}=\dfrac{7}{10}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{1+{{\left( \dfrac{{{Z}_{LC}}}{{{R}_{1}}} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{1+\left( \dfrac{{{Z}_{LC}}}{\dfrac{1}{2}{{R}_{1}}} \right)}=\dfrac{7}{10}$ $\dfrac{1}{1+{{\left( \dfrac{{{Z}_{LC}}}{{{R}_{1}}} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{1+4{{\left( \dfrac{{{Z}_{LC}}}{{{R}_{1}}} \right)}^{2}}}=\dfrac{7}{10}$
Đặt ${{\left( \dfrac{{{Z}_{LC}}}{{{R}_{1}}} \right)}^{2}}=x;(x>0)$ ta được :
$\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+4x}=\dfrac{7}{10}\Rightarrow \dfrac{5x+2}{4{{x}^{2}}+5x+1}=\dfrac{7}{10}\Rightarrow $ $10.(5x+2)=7.\left( 4{{x}^{2}}+5x+1 \right)$
$\Leftrightarrow 28{{x}^{2}}-15x-13=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{1}}=1(tm) \\
{{x}_{2}}=-\dfrac{13}{28}(\text{loai}) \\
\end{array} \right.$
Vậy:
$\dfrac{{{Z}_{\text{LC }}}}{{{R}_{1}}}=1\Leftrightarrow {{Z}_{LC}}={{R}_{1}}\Rightarrow \tan {{\varphi }_{1}}=1\Rightarrow {{\varphi }_{1}}-{{45}^{\text{0 }}}\Rightarrow \cos {{\varphi }_{1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$\tan {{\varphi }_{2}}=2\tan {{\varphi }_{1}}=2\Rightarrow \cos {{\varphi }_{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{1+\tan {{\varphi }_{2}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$
Tỉ số : $\dfrac{{{P}_{1}}}{{{P}_{2}}}=\dfrac{{{U}^{2}}\cdot \cos {{\varphi }_{1}}}{\sqrt{R_{1}^{2}+Z_{LC}^{2}}}\cdot \dfrac{\sqrt{R_{2}^{2}+Z_{LC}^{2}}}{{{U}^{2}}\cdot \cos {{\varphi }_{2}}}$ $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{R_{1}^{2}+R_{1}^{2}}}\cdot \dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{4}R_{1}^{2}+R_{1}^{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt{5}}}=\dfrac{5}{4}\Rightarrow \dfrac{{{P}_{2}}}{{{P}_{1}}}=\dfrac{4}{5}$
Đáp án C.